Posible cambio de variables en desigualdades

Sean $x,y,z$ números reales positivos y $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+zx$, $\sigma_3=xyz$. Demostrar que si $\sigma_3=\sigma_1+2$, entonces existen números $a,b,c$ reales positivos tales que $$x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c}$$