XXIIIOMM Problema 4

Enviado por jmd el 11 de Noviembre de 2009 - 12:03.

Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales distintos. Sea $ M $ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos de la expresión $s=\pm {a_1} \pm {a_2}\pm \ldots \pm {a_n}$ de manera que $m<s<M$.

Solución

Por:

el colado

Fecha:

10 Jul 2010

Solución:

Sin perdida de generalidad, sea $m=a_1<a_2<a_3< \cdots <a_n=M$ Entonces, podemos sugerir un probable acomodo y demostrar si cumple o no. Sea $$s=a_1-a_2+a_3-a_4+a_5+ \cdots+a_n$$

En $s$, podemos separar por parentesis el acomodo:

$$s =a_1+(a_3-a_2)+(a_5-a_4)+\cdots+(a_n-a_{n-1}) $$

Como tenemos que $a_k>a_k-1$, entonces cada pareja de los paréntesis de arriba siempre es mayor a cero, por lo tanto, $s>a_1=m$. Luego, $$s=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+...+(a_n-2 - a_{n-1}) + a_n$$ de aqui, podemos argumentar que $a_i<a_{i+1}$, por lo que, cada pareja de los parentesis de arriba siempre es menor a cero. Luego $s<a_n=M $, por lo tanto, existe un acomodo en $s$, tal que $m<s<M,$ como queriamos demostrar. ■

pues en vista de que nadie ha

Enviado por el colado el 10 de Julio de 2010 - 03:34.

pues en vista de que nadie ha subido su solucion, yo les mando la mía:

sin perdida de generalidad, sea m=a1<a2<a3<...<an=M

entonces, podemos sugerir un probable acomodo y demostrar si cumple o no.

sea s=a1-a2+a3-a4+a5....+a_n

en s, podemos separar por parentesis el acomodo:

s=a1+(a3-a2)+(a5-a4)+...(a_n-a_n-1)

como tenemos que a_k>a_k-1, entonces cada pareja de los parentesis de arriba siempre es mayor a cero.. por lo tanto.. s>a1=m

luego, s=(a1-a2)+(a3-a4)+...+(a_n-2 - a_n-1) + a_n

de aqui, podemos argumentar que a_i<a_i+1... por lo que cada pareja de los parentesis de arriba siempre es menor a cero, luego s<a_n=M

por lo tanto, existe un acomodo en s, tal que m<s<M, como queriamos demostrar. ■

Saludos.

Muy buena solución daniel,

Enviado por jesus el 10 de Julio de 2010 - 12:27.

Muy buena solución daniel, voy a ponerla como la oficial.

Lastima que no hiciste eso en

Enviado por iwakura_isa el 15 de Julio de 2010 - 09:21.

Lastima que no hiciste eso en el examen Daniel jajaja

hahaha cierto... lastima [1]

Enviado por el colado el 16 de Julio de 2010 - 15:34.

hahaha cierto... lastima pero.. ya para qué quejarse..