Ladrones de la tercera edad

Enviado por jmd el 27 de Febrero de 2009 - 08:23.

"El Carrizos" y "el Mayel", dos ladrones de la tercera edad, han robado un collar circular con $2m$ cuentas de oro y $2n$ cuentas de plata, dispuestas en un orden desconocido. El Carrizos cortó el collar por la mitad (mismo número de cuentas en cada mitad) y se lo entregó a su compañero. ¿Es posible un reparto equitativo mediante un corte diametral? (Es decir ¿es posible cortar el collar por la mitad y obtener el mismo número de cuentas de oro y de plata en cada una, sin importar el orden de las cuentas de oro y plata?)

Collar con 6 de oro y 4 de plata

Sugerencia

Por:

jesus

Sugerencia:

Demuestra el resultado con inducción.

Observa que cuando m+n es 1 o 2 es fácil dividir.
Al quitar dos cuentas iguales (ambas de oro o de plata) y diagonalmente opuesta se reduce el problema. Es decir, hay solución al quitar las cuentas si y sólo si hay solución son las cuentas puestas.
Cuando no existan cuentas iguales y diagonalmente opuestas, buscar una configuración de 4 cuentas, 2 de plata y 2 de oro, de tal manera que al removerlas pasa lo que en el paso anterior: hay solución con las cuentas removidas si sólo si hay solución con las cuentas sin remover.
Con los pasos anteriores se completa una demostración por inducción.

Combinatoria [1]
Avanzado [2]