Siete enteros

Enviado por jesus el 22 de Marzo de 2008 - 21:57.

En cualquier conjunto de siete enteros siempre hay dos cuya suma o diferencia es múltiplo de 11.

Solución

Por:

vmp

Solución:

Los residuos posibles son:

1, 2, 3, 4, 5,

10, 9, 8, 7, 6 y 0.

Para lograr el resultado, los dos enteros deben tener residuos complementarios (i y 11-i) si se suman, y residuos iguales si se restan.

El argumento es éste:

–si hay dos números con residuos iguales entonces su diferencia (de los números) es múltiplo de 11;

–de otra manera, si todos los residuos son diferentes, tenemos 6 pichoneras ({0}, {1, 10},…, {5, 6}) para 7 pichones y en alguna pichonera se acomodan 2 pichones. Nota: en este caso los pichones buscan su nido correspondiente; si el 0 fuese uno de los residuos, quedarían 5 pichoneras para 6 pichones.

Nos fijamos en $mod 11$ si

Enviado por Paola Ramírez el 27 de Marzo de 2013 - 00:10.

Nos fijamos en $mod 11$ si hay almenos una pareja de las siguientes se cumple el enunciado:
$1 mod 11$------$10 mod 11$
$2 mod 11$------$9 mod 11$
$3 mod 11$------$8 mod 11$
$4 mod 11$------$7 mod 11$
$5 mod 11$------$6 mod 11$
$0 mod 11$------$0 mod 11$
Sabemos que si dos modulos iguales se repiten entonces la suma y su diferencia sera multiplo de 11
Digamos que la fila de la izquierda son hombre y la de la derecha son mujeres y queremos demostrar que al escoger 7 "personas" habra una pareja.
Por casillas, el peor caso es escoger 6 hombres o 6 mujeres lo que indica que la persona 7 sería del sexo opuesto a esos 6 formando una pareja, y demostrando el enunciado original

Combinatoria [1]