a) Sea IG la perpendicular bajada desde I a la altura JF. Vamos a demostrar que IG es radio (por congruencia de triángulos). Para ello primero observemos que IG//CA (por ser IG perpendicular a JF), y que IP//BC (IP radio al punto de tangencia P y AD perpendicular a BC). De aquí que los triángulos PIJ y GIJ son congruentes (por ser semejantes que comparten un lado). Se sigue que PI=GI. Pero PI es radio. Luego, GI es radio. (Ejercicio de reflexión para el novicio: ¿por qué esto demuestra JF tangente al incírculo de ACD?)
b) Como se argumentó en el inciso a), el cuadrilátero GIQF es paralelogramo. Pero tiene tres ángulos rectos. Luego, es rectángulo. Pero es un rectángulo con todos sus lados iguales. Luego, es un cuadrado. De aquí que los ángulos en F formados por su diagonal FI son de 45. Y si ahora observamos que el ángulo IJE es externo al triángulo BCJ, se sigue que también este ángulo es de 45. Se sigue que el cuadrilátero IJFE es cíclico.
c) Como se vio en b), el cuadrilátero IGFQ es cuadrado. Así que el ángulo GFI es de 45. Pero ya habíamos visto que el ángulo IJE es de 45. Luego, el triángulo FJI es isósceles rectángulo en I.
d) Si ABC fuese equilátero, la altura JF está sobre la bisectriz BE. Es decir, E coincide con F. Notemos, ahora, que el argumento del inciso a) para demostrar que IG es radio no cambiaría para este caso. Por tanto, se mantiene el hecho de que IGEQ es cuadrado. De aquí que el ángulo JEI es de 45. Y como tampoco cambia el hecho de que el ángulo IJE es externo al triángulo BCJ, entonces ese ángulo mide 60. Se concluye que los ángulos del triángulo IJE miden, respectivamente 75, 60, 45. (Es más directo el argumento de Sadhi: los triángulos EJI y DJI son congruentes por el criterio LAL.)
Las gracias les sean dadas a
Las gracias les sean dadas a los novicios Arbiter, Rosario y Sadhi por aceptar el reto y resolver el problema. (Paradoja de nuestro tiempo: el profesor da las gracias a los alumnos ¡por ponerle atención! --¡¿qué más se puede hacer en un mundo volteado de cabeza?!):(:(:(
No profesor, al contrario ...
No profesor, al contrario ... GRACIAS A USTED !! :D
Gracias a usted y a todo el equipo de MaTeTaM :), que de manera desinteresada han creado este maravilloso espacio donde los participantes (como Brandon :D) y los no participantes pero interesados aun en el tema (como yo xD, jeje xD) encontramos un lugar para poner a prueba nuestra imaginación, para seguir sumergiéndonos más en el universo de las matemáticas de una manera más interesante, para seguir haciendo lo que más nos gusta: resolver problemas. ¿Por qué nos gustará tanto? No lo sé muy bien, pero es tan gratificante al poder resolver uno (la satifacción por lo general es directamente proporcional al tiempo que tardamos en hacerlo: entre más tardamos y más nos rompemos la cabeza, más alegría y más ganas de saltar nos dan cuando por fin terminamos un problema :D, wii :D). Además, en lo personal encuentro bastante interesantes los artículos de metacognición, ojalá 1) haya más :D, y 2) más olímpicos (y no-olímpicos también) pudieran leerlos y analizarlos.
Nuevamente gracias :D ... ¡ah! y felicidades a Arbiter, Rosario y Sadhi por haber resuelto el problema :D (y a Brandon por haber hecho el original :D).
Saludoz :)