IMO4_2009_invertido

a) Sea IG la perpendicular bajada desde I a la altura JF. Vamos a demostrar que IG es radio (por congruencia de triángulos). Para ello primero observemos que IG//CA (por ser IG perpendicular a JF), y que IP//BC (IP radio al punto de tangencia P y AD perpendicular a BC). De aquí que los triángulos PIJ y GIJ son congruentes (por ser semejantes que comparten un lado). Se sigue que PI=GI. Pero PI es radio. Luego, GI es radio. (Ejercicio de reflexión para el novicio: ¿por qué esto demuestra JF tangente al incírculo de ACD?)

b) Como se argumentó en el inciso a), el cuadrilátero GIQF es paralelogramo. Pero tiene tres ángulos rectos. Luego, es rectángulo. Pero es un rectángulo con todos sus lados iguales. Luego, es un cuadrado. De aquí que los ángulos en F formados por su diagonal FI  son de 45. Y si ahora observamos que el ángulo IJE es externo al triángulo BCJ, se sigue que también este ángulo es de 45. Se sigue que el cuadrilátero IJFE es cíclico.

c) Como se vio en b), el cuadrilátero  IGFQ es cuadrado. Así que el ángulo GFI es de 45. Pero ya habíamos visto que el ángulo IJE es de 45. Luego, el triángulo FJI es isósceles rectángulo en I.

d) Si ABC fuese equilátero, la altura JF está sobre la bisectriz BE. Es decir, E coincide con F. Notemos, ahora, que el argumento del inciso a) para demostrar que IG es radio  no cambiaría para este caso. Por tanto, se mantiene el hecho de que IGEQ es cuadrado. De aquí que el ángulo JEI es de 45. Y como tampoco cambia el hecho de que el ángulo IJE es externo al triángulo BCJ, entonces ese ángulo mide 60. Se concluye que los ángulos del triángulo IJE miden, respectivamente 75, 60, 45. (Es más directo el argumento de Sadhi: los triángulos EJI y DJI son congruentes por el criterio LAL.)