P3. DANI el ciclico

Enviado por Samuel Elias el 12 de Junio de 2025 - 23:18.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB =90 ^ {\circ}$ e incentro $I$. Las bisectrices de $\angle C$ y $\angle B$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, e intersecan a la perpendicular de $BC$ por $A$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $D$ y $N$ los puntos medios de $PE$ y $QF$ respectivamente.

Demuestra que los puntos $D, \ A, \ N, \ I$ están sobre una circunferencia.
Demuestra que $DN$ es paralela a $BC$

Sugerencia

Sugerencia:

Para la parte $i)$, demuestra que los triángulos $AFQ$ y $APE$ son isósceles. ¿Qué dice el punto medio del lado opuesto al ángulo desigual en un isósceles?

Para la parte $ii)$, usa que $AI$ es bisectriz (porque $I$ es incentro$ y usa anguleo para concluir por alternos internos.

Solución

Solución:

$i)$ Note que $\angle AFB = 90 - \angle ABF$, y como $\angle ABF = \angle FBC$, entonces $\angle AQF = \angle AFQ$. Como $N$ es punto medio de $QF$ y ya demostramos que $\triangle AFQ$ es isósceles, $AN$ es todotriz. Este mismo argumento es análogo para el triángulo $AEP$, entonces llegamos a que $\angle ANI + \angle ADI = 180$.

$ii)$ Note que $\angle IAE = 45$ por ser $AI$ bisectriz. Ahora, como $AD$ es todotriz en $\triangle PAE$, entonces $\angle ECB = \angle DAE = 45- \angle FBC$. Para completar el ángulo de 45, entonces $\angle DAI = \angle FBC$. Como $\angle ADI = 90$, entonces $\angle DIA = 90 - \angle IAD = 90 - \angle FBC$, y por moños $\angle AND = \angle AID$, por lo que $\angle DNI = \angle FBC$, teniendo así que $DN || BC$ por alternos internos.