Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ queda entre $A$ y $C$.
Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $C_1$ y $C_2$, respectivamente, tales que $CP$ es tangente a $C_1$, $CQ$ es tangente a $C_2$, $P$ no está dentro de $C_2$ y $Q$ no está dentro de $C_1$.
La recta $PQ$ corta de nuevo a $C_1$ en $R$ y a $C_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$.
Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $C_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $C_2$ en $Y$. Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$.
Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.
Es fácil ver que C,P,X,Y,Q
Es fácil ver que C,P,X,Y,Q estan sobre una misma circunferencia (trabajo de semejanza/eje radical). Y particularmente en ese ciclico CP=CQ (CP2=CB*CA=CQ2) y <CYQ=<CYP
Basta probar que, <SZY=<QXY si y solo si, <PZY=<CXY.
Si <SZY=<QXY entonces <SZY=<QXY=<QPY=<SPY entonces, P,Z,Y, S es ciclico,
entonces <PZY=<PZS+<SZY=<PYS+<SPY=<CYP+<QPY =<CYQ+<QXY=<CXY Como se queria demostrar.
No tengo forma de usar latex
No tengo forma de usar latex (estoy en mi celular) pero intentare dar una solución. aABC (angulo ABC).
Es fácil ver que C,P,X,Y,Q estan sobre una misma circunferencia (trabajo de semejanza/eje radical). Y particularmente en ese ciclico CP=CQ (CP2=CB*CA=CQ2) y aCYQ=aCYP
Saludos!