¿Trazo auxiliar? OK Pero... ¿cómo lo descubres?

Si llamamos $d$ a la longitud de los catetos y $c$ al lado del cuadrado, entonces el área del triángulo es $d^2/2$ y la del cuadrado es $c^2$. No es difícil darse cuenta que $c$ es la conexión que necesitamos para pasar de $2c^2/ d^2=2/5$ a la razón OP/OQ pedida. Para ello hagamos $a=OP, b=OQ$. Entonces, por Pitágoras, $c^2=a^2+b^2.$ Y necesitamos relacionar $d$ con $a$ y $b$.

De nuevo, aquí, esta necesidad nos debería llevar a "ver" el trazo auxiliar clave: bajar una perpendicular de S al lado OB. Sea E la intersección entre OB y la perpendicular bajada desde S. De pronto todo se aclara: los triángulos PQO y SPE son congruentes (por ser semejantes con PQ=PS), y el triángulo BSE es isósceles rectángulo en E. De aquí que $d=a+b+a=2a+b.$

Por un lado tenemos d^2=5c^2 y, por el otro, d=2a+b y c^2=a^2+b^2. De aquí tiene que salir (a pesar de que vamos a tener una sola ecuación):

$(2a+b)^2=5a^2+5b^2$

$4a^2+4ab+b^2=5a^2+5b^2$

$a^2-4ab+4b^2=0$

$(a-2b)^2=0$

$a=2b$

Por tanto, la respuesta es $a/b=2.$