2. Divisores Cuadrados

Enviado por Samuel Elias el 18 de Octubre de 2026 - 10:53.

Encuentra el menor entero positivo $n$ que tienen al menos cuatro divisores positivos, tales que si $d_1 < d_2 < d_3 < d_4$ son sus cuatro divisores positivos más pequeños, se cumple la relación:$$n = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2$$

Sugerencia

Sugerencia:

módulo 4 y divisibilidad.

Demuestra que los divisores son $d_1 = 1, d_2 = 2, d_3 = p, d_4 = 2p$

Solución

Solución:

Note que $d_1=1$. Por paridad, $d_2=2$ y por lo tanto $n$ es par. Entonces:

$$n=5+d_3^2+d_4^2$$

Si usamos $\pmod 4$, como $n$ es par tenemos dos opciones.

Que $n\equiv 0 \pmod 4$.

$0 \equiv 1+0+0$

$0 \equiv 1+0+1$

Estas son las únicas posibilidades, porque, por tamaños, $d_3=4$ o $d_4=4$. Sin embargo, ninguna de nuestras opciones es $0 \pmod 4$.(En realidad solo basta ver modulo 4 para ver que no hay solución).

Entonces $n \equiv 2 \pmod 4$, lo que quiere decir que $4 \nmid n$

Por módulo 4, un divisor debe ser de la forma $p$ y el otro de la forma $2p$(si no, la suma será impar), con $p$ primo ($2 \equiv 5+d_3^2+d_4^2 \equiv 1+1+0$). Entonces:

$$n= 5+p^2+4p^2=5(p^2+1)$$

Esto hace que $5$ sea divisor de $n$ por lo que $p=3$ o $p=5$. Comprobando, nos queda que la respuesta es $130 = 1^2+2^2+5^2+10^2$.