5. Divisores cuadrados vs el doble

Enviado por Samuel Elias el 4 de Octubre de 2025 - 17:02.

Sea $1=d_1<d_2<\dots<d_k=n$ todos los divisores del entero positivo $n$, donde $k\geq 5$. Determina si exsiste alguna $n$ que cumpla que $$2n=d_3^2+d_4^2+d_5^2$$

Sugerencia

Sugerencia:

Módulo 4 para cuadrados. Después usa teoría para demostrar que todos los divisores son potencias de 2.

Solución

Solución:

La respuesta es que no. Como $2n$ es par, hay al menos un $d_i$ par, por lo que estrictamente $d_2 =2$. Eso quiere decir que $2n \equiv 0 \pmod 4$, y como todos los cuadrados son $\equiv 0,1 \pmod 4$, estrictamente los 3 $d_i \equiv 0 \pmod 4 $.

Ahora, ningún divisor es de la forma $2j$ con $j$ impar, porque si no $j$ tendría que ser al menos $d_3$, entonces como $n$ no tiene ningún factor impar, todos sus divisores son potencias de 2, por lo que $$d_3=4, \ d_4 = 8, \ d_5 = 16$$

Sustituyendo, nos damos cuenta que $$16 \not{\mid} \ \frac{4^2+8^2+16^2}{2}$$

Números [1]
Intermedio [2]
Segundo Corte Semifinales OMM Tamaulipas [3]