divisibilidad y division de polinomios

Después de factorizar $(n-1)$ en numerador y denominador, y cancelar, el problema se reduce a encontrar todos los enteros positivos n distintos de la unidad para los cuales la expresión $(n^2+n+1)/(n+8)$ es un entero. Si $(n^2+n+1)/(n+8)$ es un entero entonces también es entera la expresión $[n^2+n+1-n(n+8)]/(n+8)=(-7n+1)/(n+8).$ Y si ésta es un entero entonces también será entera la expresión $[-7n+1+7(n+8)]/(n+8)=(1+56)/(n+8).$

Por lo tanto sólo es necesario buscar entre los divisores de $57=3(19).$ Se descartan las soluciones que resultan de igualar $n+8$ con 1 y 3 (y con -1, -3, -19 y -57) por ser negativas. Si $n+8=19$, se obtiene n=11, y si $n+8=57$, se obtiene n=49. La respuesta es entonces: los enteros positivos que resultan en un valor entero del cociente son 11 y 49.