Encontrar las soluciones de la igualdad

A ver si esta bien, primero como ambos son primos, y p+q es entero entonces es claro que $p>q$, sea $p=q+k$ (con k la diferencia), de ahi transformamos nuestro problema a ;

$2q+k=K^3$ de ahi $2q=k(k^2-1)$ por lo que tenemos dos opciones o $2=k$, o $2=k^2-1$ (ya que 2 y q son primos, y en el segundo lado de la igualdad tenemos dos factores, donde es claro que ambos distintos) pero por que $2=k(k^2-1)$ no lo puese, pues por que entonces q=1, lo cual es una contradiccion.

Caso 1; $2=k$ de ahi $q=3$ y $p=5$

Caso 2; $2=k^2-1$ de ahi $k^2=3$ pero 3 no es cuadrado, contradiccion

por lo tanto solo existen $(p,q)=(5,3)$