Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a,b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a+b$ y $201a+b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
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[1] https://www.matetam.com/print/problemas/numeros/olimpiada-iberoamericana-4-2004#comment-1501
[2] https://www.matetam.com/problemas/numeros
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Primero escribamos las [1]
Primero escribamos
$100a+b=c^2$
$201a+b=d^2$
las siguientes acotaciones son faciles de ver
$10\le a\le 99$, $10\le b\le 99$ y $32\le c\le d\le 99$
restando las igualdades de un principio se tiene que:
$(201a+b)-(100a+b)=d^2-c^2\Rightarrow 101a=(d+c)(d-c)$
Por otro lado $1\le d-c\le 67$ y $65\le d+c\le 197$
Como 101 es primo obtenemos las siguientes concluciones:
$d+c=101$
$d-c=a$
$\Rightarrow (d+c)-(d-c)=101-a\Rightarrow 2c=101-a\Rightarrow a=101-2c\Rightarrow$
$100a+b=100(101-2c)+b=c^2\Rightarrow 10100-200c+b=c^2\Rightarrow$
$10100+b=c^2+200c$
Ahora sumando 10000 a ambos lados de la ultima igualdad se tiene que;
$20100+b=c^2+200c+10000=(c+100)^2\Rightarrow 20110\le (c+100)^2\le 20199$
$\Rightarrow 141^2\le (c+100)^2\le 143^2$ de donde $c=42$ $\Rightarrow (a,b)=(17,64)$(solucion unica)
Cabe mencionar que muchos de
Cabe mencionar que muchos de los "menor o igual" son estrictos "menor", pero no se poner dicho simbolo en latex.
Por otro lado el problema esta mas dificil de lo que habia creido la idea de dejar $(c+100)^2$ es ya robada del libro de 104 problemas de TN de Titu, la usan varias veces en el libro asi que pense en usarla. Espero y este correcta y solo este la solucion que doy saludos!