Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto.
Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto.
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Tomemos en cuenta la fórmula
Tomemos en cuenta la fórmula para determinar el número de divisores de un número entero:
sean a1,a2, a3,...., ak, los exponentes que resultan de la descomposición en primos de n. Entonces, la cantidad de divisores de tal número n, estará dada por: (a1+1)(a2+1)...(ak+1).
Entonces... tenemos que todo numero de tres divisores deberá ser de la forma p², con p primo, ya que la cantidad de divisores positivos de p² estan dados por (2+1)=3.
entonces buscamos todos los numeros p² menores a 100...
entonces.. 100>p², luego, 10>p... por lo tanto, sólo buscamos los numeros que son el cuadrado de los números primos: 2, 3, 5 y 7, que son: 4, 9, 25 y 49, respectivamente. Entonces, multiplicamos: 4x9x25x49=(2x3x5x7)²=210²,con esto tenemos que el resultado, tambien es un número cuadrado, como queriamos demostrar. ■
Saludos.
La verdad es que no entiendo
La verdad es que no entiendo su manera de resolverlo, pero creo poder demostrar porque podría ser errónea. Para eso, usaré el siguiente contraejemplo. 66 es menor que cien y tiene exactamente tres divisores enteros positivos, siendo estos 2, 3 y 11. Por consiguiente, 66 debería ser incluido en el producto de estos números. ¿Cómo es entonces que 210^2 entre 11 no es un número entero?
Hola Juan, lo que pasa es que