La ecuación es múltiplo de 3804 sólo si lo es de 3,4 y 317, ya que éstos son los factores de 3804.
Demostración de que es múltiplo de 3
Como $n^3-n=(n-1)(n)(n+1)$ es un producto de tres número consecutivos, entonces es multiplo de 3.
Demostración de que es múltiplo de 4
Notemos que $n^3-n$ es par. Luego, tanto 5 como 3 a cualquier potencia simpre son impares, entonces, $(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es impar pues impar+impar=par.
Luego, como $\textrm{par} \times \textrm{par} = 2a \times 2b = 4ab $ es multiplo de 4. Entonces, $(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es múltiplo de cuatro.
Demostración de que es múltiplo de 317.
Al ver el problema con congruencias queda $$5^{8n+4}+3^{4n+2} \equiv 0 \pmod{317},$$ o bien, $$5^{8n+4} \equiv -3^{4n+2} \pmod{317}.$$
Pero se tiene que: $$5^4 = 625 \equiv -9 = -(3^2) \pmod{317}.$$ Por lo que $$(5^4)^{2n+1} \equiv -(3^2)^{2n+1} \pmod{317}.$$ Por lo que $$5^{8n+4} \equiv -3^{4n+2} \pmod{317},$$ y $$5^{8n+4} +3^{4n+2} \equiv 0 \pmod{317}.$$ Entonces $(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2}) \equiv 0 \pmod{3804}$
La ecuación es multiplo de
La ecuación es multiplo de 3804 solo si lo es de 3,4 y 317, ya que esta estos son los factores de 3804.n3-n=(n-1)(n)(n+1), por lo que la ecuación es multiplo de 3. n3-n es par y al ver (58n+4+34n+2) 5 a una potencia par es impar. Y 3 a lo que sea es impar por lo que (58n+4+34n+2) es igual a impar+impar=par, entonces se tiene parxpar=2ax2b=4ab, por lo que la ecuación es multiplo de 4, solo falta el caso de 317. Al ver el problema con congruencias queda [58n+4+34n+2cong. a 0 mod 317], o [58n+4 cong a -34n+2 mod 317]. Pero se tiene que [54 cong a -9 cong a –(32) mod 317]. Por lo que [(54)2n+1cong a –(32)2n+1 mod 317]. Por lo que [58n+4 cong a -34n+2 mod 317], y [58n+4+34n+2cong. a 0 mod 317]. Entonces (n3-n) (58n+4+34n+2) cong a 0 mod 3804.
Está muy bien tu solución,
Está muy bien tu solución, con muy buen manejo de las congruencias. La voy a poner como la solución oficial.
Por otro lado, te recomiendo leer el acordeón de latex [1] para ver cómo incrustar fórmulas matemáticas en los comentarios.
Saludos