Problema 5 Estatal 2022

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:21.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x,n) tales que:

(3)(2^x) + 4 = n²

Sugerencia

Sugerencia:

Juega un poco con los factores 2, usa la idea de que solo hay un factor 3.

Solución

Solución:

Restando el 4 obtenemos que $$3\cdot 2^x=(n+2)(n-2)$$

Sea $x=a+b$ con $a \geq0, b\geq 1 \in \mathbb{Z}$ y $b \geq a$. Es un hecho conocido que $n+2 \geq n-2$. De aquí se obtienen los siguientes casos:

$2^a|n+2$ por lo que estrictamente $3\cdot 2^a=n+2$. Entonces $2^b=n-2$. Entonces $3\cdot 2^a=2^b+4 \iff 3\cdot 2^{a-2} = 2^{b-2}+1$. Si $a,b \geq 3$, ambos lados nunca serán congruentes módulo 2. Si $a=2$, tenemos que $2^{b-2}=2 \iff b=3$. Entonces $x = 5$ y $n=10$. Si $a=1$, entonces $2^{b-2}=2^{-1} \iff b=1$. De aquí se obtienen las parejas (2, 4). Si $a=0$, entonces $2^{b-2}=-\frac{1}{4}$, lo cual es imposible.
$2^b | n+2$, lo cual da otros dos casos

$3\cdot 2^b = n+2, 2^a = n-2 \iff 3\cdot 2^b = 2^a+4 \iff 3\cdot 2^{b-2}=2^{a-2}+1$. Usando mismo argumento de la congruencia modulo 2, acotamos $a,b$. Como $b \geq a$, $b \neq 2$. Ya vimos el caso $a=b=1$.
$2^b = n+2$, $3\cdot 2^a = n-2$. Entonces $2^b=3\cdot 2^a+4 \iff 2^{b-2} = 3\cdot 2^{a-2} + 1$. Mismo argumento modulo 4, por lo que a,b estan acotadas. Si $a=2$, entonces $2^{b-2}=4 \iff b=4$, por lo que $x=6$ y $n=14$. Si $a=1$, $2^{b-2} = \frac{5}{2} $ lo cual es imposible. Si $a=0$, $2^{b-2} = \frac{7}{4}$ lo cual es imposible.

Entonces las únicas parejas son (2,4), (5,10), (6, 14).