Una factorización notable

Completando el trinomio cuadrado perfecto en $n^4+4$ (PS-regla: ¿Problema de números? ¡Factoriza!)

$$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2$$ (¡diferencia de cuadrados!)

$$=(n^2+2+2n)\cdot(n^2+2-2n)$$

$$=((n+1)^2+1)\cdot((n-1)^2+1)$$

Y se puede ver que ambos factores son positivos. Para obligar primalidad, el menor de ellos debe ser $1$. Y esto sucede si y sólo si $n=\pm1$.  Es decir, $n^4+4$ es primo \emph{sólo} si $n=\pm1$. Pero si $n=\pm1$, entonces $n^4+4=5$, el cual es primo.  Así, la respuesta es  $n=\pm1$