Demostrar que si una progresión aritmética de enteros positivos contiene un cuadrado perfecto entonces contiene infinitamente muchos cuadrados perfectos.
Sugerencia
Sugerencia:
¿Conoces el significado de progresión aritmética?
Solución
Solución:
Sea $d$ la diferencia entre un término de la progresión y el anterior. Por hipótesis, la sucesión (progresión) contiene un cuadrado --digamos $a^2.$ Entonces, los términos siguientes son $a^2+d, a2+2d,$ etc. Eventualmente se llega al término $a^2+(2a+d)d=(a+d)^2,$ el cual es otro cuadrado. Si a este cuadrado le llamamos $b^2,$ podemos repetir el razonamiento y demostrar que hay un tercer cuadrado en la sucesión. En resumen, si la sucesión tiene un cuadrado perfecto $a^2$, también contiene los cuadrados perfectos $(a+d)^2, (a+2d)^2, (a+3d)^2,$ etc.
