Demostrar que si una progresión aritmética de enteros positivos contiene un cuadrado perfecto entonces contiene infinitamente muchos cuadrados perfectos.
Sugerencia
Sugerencia:
¿Conoces el significado de progresión aritmética?
Solución
Solución:
Sea d la diferencia entre un término de la progresión y el anterior. Por hipótesis, la sucesión (progresión) contiene un cuadrado --digamos a 2 . Entonces, los términos siguientes son a 2 + d , a 2 + 2 d , etc. Eventualmente se llega al término a 2 + ( 2 a + d ) d = ( a + d ) 2 , el cual es otro cuadrado. Si a este cuadrado le llamamos b 2 , podemos repetir el razonamiento y demostrar que hay un tercer cuadrado en la sucesión. En resumen, si la sucesión tiene un cuadrado perfecto a 2 , también contiene los cuadrados perfectos ( a + d ) 2 , ( a + 2 d ) 2 , ( a + 3 d ) 2 , etc.