Octágono rojinegro

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Cada uno de los lados y las diagonales de un octágono regular se pintan de rojo o de negro. Demuestre que hay al menos siete triángulos cuyos vértices son vértices del octágono y sus tres lados son del mismo color.




Imagen de cuauhtemoc

Vamos a probar que de hecho

Vamos a probar que de hecho hay al menos 8 triangulos que cumplen lo pedido. A un vertice cualquiera llegan 7 lineas. El mayor numero de parejas posibles de lineas de colores distintos que comparten ese vertice es 4x3=12. Con esto, el numero de parejas de lineas de colores distintos que comparten un vertice es a lo mas 8x12. Cada triangulo que no cumple lo que se pide usa exactamente dos de esas parejas, por lo que hay a lo mas 8x6=48 triangulos que no cumplen lo que se pide. Entonces el numero de triangulos que cumplen lo que se pide es al menos (8,3) - 48 = 8

Nota: (8,3)= (8x7x6) / (3x2x1) = 56