$$
\begin{aligned}
&\text{Sea } \alpha=\angle BAC, \text{ con } AI \text{ bisectriz interna e } I_BI_C \text{ bisectriz externa en } A \text{ (} I_B,A,I_C \text{ colineales)}. \text{Sea }\ I_{A}\ \text{el excentro de}\ \triangle ABC\ \text{desde} \ A.\\[4pt]
&\angle BAI=\angle IAC=\dfrac{\alpha}{2}\\[4pt]
&\angle I_BAC=\angle BAI_C=90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}\\[4pt]
&\angle I_BAB=\angle CAI_C=90^\circ+\dfrac{\alpha}{2}\\[14pt]
&\text{Cross ratio trigonométrico desde } A \text{ (con } P_B\in AC \text{ y } P_C\in AB\text{)}\\[4pt]
&C_1=(I_B,I;P_B,B)=\dfrac{\sin\angle I_BAP_B\cdot\sin\angle IAB}{\sin\angle IAP_B\cdot\sin\angle I_BAB}=\dfrac{\sin\angle I_BAC\cdot\sin\angle IAB}{\sin\angle IAC\cdot\sin\angle I_BAB}\\[10pt]
&C_2=(I_C,I;P_C,C)=\dfrac{\sin\angle I_CAP_C\cdot\sin\angle IAC}{\sin\angle IAP_C\cdot\sin\angle I_CAC}=\dfrac{\sin\angle BAI_C\cdot\sin\angle IAC}{\sin\angle IAB\cdot\sin\angle CAI_C}\\[10pt]
&\text{Por las igualdades de ángulos en } A\text{:}\quad C_1=\dfrac{\sin\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\left(90^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)}=C_2\\[4pt]
&\text{(los signos coinciden pues un haz es el reflejo del otro respecto a } AI\text{)}\\[14pt]
&\text{Cross ratio normal: } I_B,I,P_B,B \text{ están en } I_BB \text{ e } I_C,I,P_C,C \text{ están en } I_CC\\[4pt]
&A(I_B,I;P_B,B)=(I_B,I;P_B,B)=C_1=C_2=(I_C,I;P_C,C)=A(I_C,I;P_C,C)\\[14pt]
&\text{Sean } D_1=AI\cap I_BP_C \text{ y } D_2=AI\cap I_CP_B\\[4pt]
&\text{Haz desde } I_C \text{ (rectas } I_CI_B,\ I_CI,\ I_CP_B,\ I_CB\text{) cortado por } AI_A\text{:}\\[4pt]
&I_C(I_B,I;P_B,B)=(A,I;D_2,I_A) \quad \text{pues } I_C,A,I_B \text{ e } I_C,B,I_A \text{ son colineales}\\[10pt]
&\text{Haz desde } I_B \text{ (rectas } I_BI_C,\ I_BI,\ I_BP_C,\ I_BC\text{) cortado por } AI_A\text{:}\\[4pt]
&I_B(I_C,I;P_C,C)=(A,I;D_1,I_A) \quad \text{pues } I_B,A,I_C \text{ e } I_B,C,I_A \text{ son colineales}\\[14pt]
&(A,I;D_1,I_A)=I_B(I_C,I;P_C,C)=(I_C,I;P_C,C)=(I_B,I;P_B,B)=I_C(I_B,I;P_B,B)=(A,I;D_2,I_A)\\[10pt]
&\text{Como } A,I,I_A \text{ son distintos, el cross ratio determina al cuarto punto, por lo que } D_1=D_2\\[4pt]
&\therefore\ AI,\ I_BP_C \text{ e } I_CP_B \text{ concurren en } D_1=D_2 \qquad \blacksquare
\end{aligned}
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