P5. OMM 1987. Triángulo rectángulo y tres área iguales imposibles
Enviado por jesus el 3 de Julio de 2010 - 20:48.
Considere un triángulo rectángulo ABC donde la hipotenusa es BC. M un punto en BC; P y Q las proyecciones de M en AB y BC, respectivamente. Pruebe que, para ninguno de tales puntos M, son iguales las áreas de BPM, MQC y AQMP (las tres al mismo tiempo).
Enviado por pedro1234 el 5 de Julio de 2010 - 19:57.
Ya que <PAQ=<APM, entonces AP paralela a QMy AQ paralela a PM, entonces triangulo ∆BAC≈∆BPM, Y ∆BAC≈∆MQC, por lo que ∆BPM≈∆MQC. ENTONCES MQ/BP=QC/PM. POR LO QUE MQ*PM=QC*BP. SI EL AREA DE AMBOS TRIANGULOS ES IGUAL, ENTONCES (MQ*QC) /2= (BP*PM) /2, ENTONCES MQ*QC=BP*PM. SIA=MQ*QCYB=MQ*PM, ENTONCES A/B=QC/PM=PM/QC, DE ESTO QUE QC2=PM2,ENTONCES QC=PM. AL SER TRIANGULOS SEMEJANTES Y TENER UN LADO IGUAL POR EL CRITERIO ANGULO-LADO-ANGULO, ESTOS TRIANGULOS SON CONGRUENTES, Y BM=MC, POR LO QUE M TIENE QUE SER PUNTO MEDIO.
SEA AB=X, AQ=DYAP=E, ENTONCES SE BUSCA QUE D*E=[D(X-E)]/2, QUE ES IGUAL A QUE 2*D*E=D(X-E), ENTONCES 2*E=X-E, Y 3*E=X. ENTONCES SE TRAZA P TAL QUE 3 PA= AB, Y SE TRAZA LA PERPENDICULAR A BA QUE PASA POR P, PARA OBTENER M, ENTONCES SE TIENE QUE ∆ABC≈∆PBM.DE ESTO QUE AB/PB=BC/BM=3/2, ENTONCES3BM=2BC.
MC=BC-BM, AL SUSTITUIR QUEDA 3(BC-BM)=2BC, Y 3BC-3BM=2BC, Y BC-3BM=O,Y BC=3BM, AL SUSTITUIR EN MC=BC-BM, QUEDAMC=3BM-BM,ENTONCESMC=2BM, POR LO QUE NO SE PUEDE TENER M TAL QUE BM=MC Y AL MISMO TIEMPO QUE MC=2BM.
Hola pedro me tomó tiempo entender tu prueba, pero creo que tienes unos errores de dedo:
Al final del segundo párrafo obtienes $3BM = 2BC$, en lo cuál estoy de acuerdo. Pero al principio del último parrafo dices que tienes $MC=BC - BM$ y que lo vas a sustituir en la primera, y no se puede, sólo si lo pones así $BM = BC-MC$. Entonces, si sustituyeramos esta última en la primera obtendríamos que:
$BC= 3MC$ y no $BC= 3 BM$
Pero creo que a pesar de esto, la conclusión sería muy parecida, pues al sustituir en $MC = BC-BM$ queda queda:
$BM = 2 MC$ en lugar de $MC = 2BM$
Y aún con esta diferencia, es cierto que no puede ocurrir simultáneamente que $BM = MC$ y que $BM = 2 MC$. Pues, se tendría que $MC = 2 MC$, es decir, $MC = 0$. Pero MC no puede ser cero, pues M tiene que ser punto medio de BC.
Ya que <PAQ=<APM, entonces AP
Ya que <PAQ=<APM, entonces AP paralela a QM y AQ paralela a PM, entonces triangulo ∆BAC≈∆BPM, Y ∆BAC≈∆MQC, por lo que ∆BPM≈∆MQC. ENTONCES MQ/BP=QC/PM. POR LO QUE MQ*PM=QC*BP. SI EL AREA DE AMBOS TRIANGULOS ES IGUAL, ENTONCES (MQ*QC) /2= (BP*PM) /2, ENTONCES MQ*QC=BP*PM. SI A=MQ*QC Y B=MQ*PM, ENTONCES A/B=QC/PM=PM/QC, DE ESTO QUE QC2=PM2, ENTONCES QC=PM. AL SER TRIANGULOS SEMEJANTES Y TENER UN LADO IGUAL POR EL CRITERIO ANGULO-LADO-ANGULO, ESTOS TRIANGULOS SON CONGRUENTES, Y BM=MC, POR LO QUE M TIENE QUE SER PUNTO MEDIO.
SEA AB=X, AQ=D Y AP=E, ENTONCES SE BUSCA QUE D*E=[D(X-E)]/2, QUE ES IGUAL A QUE 2*D*E=D(X-E), ENTONCES 2*E=X-E, Y 3*E=X. ENTONCES SE TRAZA P TAL QUE 3 PA= AB, Y SE TRAZA LA PERPENDICULAR A BA QUE PASA POR P, PARA OBTENER M, ENTONCES SE TIENE QUE ∆ABC≈∆PBM. DE ESTO QUE AB/PB=BC/BM=3/2, ENTONCES 3BM=2BC.
MC=BC-BM, AL SUSTITUIR QUEDA 3(BC-BM)=2BC, Y 3BC-3BM=2BC, Y BC-3BM=O,Y BC=3BM, AL SUSTITUIR EN MC=BC-BM, QUEDA MC=3BM-BM, ENTONCES MC=2BM, POR LO QUE NO SE PUEDE TENER M TAL QUE BM=MC Y AL MISMO TIEMPO QUE MC=2BM.
Hola pedro me tomó tiempo
Hola pedro me tomó tiempo entender tu prueba, pero creo que tienes unos errores de dedo:
Al final del segundo párrafo obtienes $3BM = 2BC$, en lo cuál estoy de acuerdo. Pero al principio del último parrafo dices que tienes $MC=BC - BM$ y que lo vas a sustituir en la primera, y no se puede, sólo si lo pones así $BM = BC-MC$. Entonces, si sustituyeramos esta última en la primera obtendríamos que:
$BC= 3MC$ y no $BC= 3 BM$
Pero creo que a pesar de esto, la conclusión sería muy parecida, pues al sustituir en $MC = BC-BM$ queda queda:
$BM = 2 MC$ en lugar de $MC = 2BM$
Y aún con esta diferencia, es cierto que no puede ocurrir simultáneamente que $BM = MC$ y que $BM = 2 MC$. Pues, se tendría que $MC = 2 MC$, es decir, $MC = 0$. Pero MC no puede ser cero, pues M tiene que ser punto medio de BC.