De “A: No puedo saber cuáles son los números x, y” se puede inferir que el número a no tiene una descomposición única como producto de dos factores (en cuyo caso, éstos serían primos). Ejemplos en que A sí podría determinar unívocamente x, y: a = 21, a = 55.
Nótese la inferencia retro: si x, y ambos primos entonces a tendría factorización xy única y, en consecuencia, A podría determinar unívocamente los números x, y. Pero éste no es el caso. Por tanto, x, y no son ambos primos.
Otra forma en que A podría determinar x, y a partir de su producto sería (usando el dato x+y<100) cuando uno de los factores de a fuera el primo 53 o uno mayor. Porque, en ese caso, a = 53q, dado que un x mayor tendría que ser 106 o mayor violando la condición de que la suma x + y < 100.
En resumen, de la primera declaración de A, se deduce quea no es producto de dos primos y ninguno de sus factores es 53 o un primo mayor.
De “B: Eso yo ya lo sabía” (suponiendo honestidad) se infiere que la información que sabe A (resumida en el párrafo anterior) también la sabe B. Pero ¿cómo la pudo saber a partir de su número b = x +y?
Para responder a esta pregunta usemos inferencia en retro:
Si x, y fuesen ambos primos impares entonces su suma x +y = b sería par y, con b par, B no podría saber lo que dijo saber. Por lo tanto debe tener a la vista un número b impar y no expresable como 2 + primo impar.
Por otro lado, B también sabe que a no puede expresarse como p(a/p), con p primo 53 o mayor. Y esto sólo lo pudo saber si b = x + y < 53.
En resumen, las posibilidades para el número b son los impares menores que 53 y no expresables como 2 + primo impar –y esto lo acabaría de saber A con la respuesta de B. (Nótese la reducción del tamaño del espacio de búsqueda a través de un descarte de posibilidades.) Haciendo la lista de los impares menores que 53 y tachando los expresables como 2 + p se obtiene una lista de posibilidades para b.
¿Cómo puede concluir A, con esta información, los valores de x, y? La única posibilidad de lograrlo es que a tenga una factorización única par(impar). Y esto sólo es posible si todos los factores 2 de a se “cargan” a la x (x = 2^k) quedando, después de la factorización, un primo impar para y. Es decir, a = (2^k)p. Por ejemplo, a = 24 = 8(3) o a = 28 = 4(7); pero habría indecisión si a = 30 = 2(15) = 6(5).
Por último, la información que obtiene B de la segunda intervención de A (y que lo hace decir “en ese caso yo también sé cuáles son”) es precisamente la que acabamos de inferir nosotros: que a tiene factorización única (par)(impar). Pero además, el número b que B tiene a la vista se tiene que descomponer de una sola forma en suma de una potencia de 2 y un primo impar. Ejemplo: se puede descartar b = 11 = 4 + 7 = 8 + 3 pero no el 17 = 4 + 13.
El lector debería comprobar que las posibilidades para a, b son (52, 17), (208, 29), (148, 41) y (592, 53). Para ello debe construir dos cribas: una a partir de la lista de impares hasta el 53 y tachando los expresables como 2 más primo impar; la otra con los números que queden de ese primer cribado y tachando los expresables en más de una forma como potencia de 2 más primo.
Epílogo: Me queda, sin embargo una duda. Haciendo un análisis muy condensado, el texto referido arriba concluye: “por la comprobación inmediata nos convencemos de que la única solución la dan los números 4 y 13.” ¿Estoy mal? ¿Se me pasó analizar algún detalle?
Mi primer comentario sobre la
Mi primer comentario sobre la manera en que se resuelve el problema aborda la afirmación hecha en el quinto párrafo de la solución:
La afirmación es muy cierta pero carece de un fuerte soporte teórico, sin embargo es reparable. Permitanme explicar mi punto.
El fundamento teórico para sustentar la afirmación recae sobre la Conjetura de Goldbach que dice: Todo número par, mayor que cuatro, es expresable como la suma de dos número primos. Esta conjetura no ha podido ser probada desde hace mucho. Ahora bien, en el caso del problema de retroducción no es necesario hacer uso de esta conjetura, bastará con comprobar la Conjetura de Goldbach para los pares menores que 100, incluso sólo para los menores que 53.
No veo la necesidad de hacer la comprobación, la conjetura ha de ser cierta para estos números, incluso para números mucho más grandes, o de lo contrario no habría durado tanto tiempo la conjetura.
Hago este comentario no como una corrección, si no como un “warning”, no vayamos a caer en afirmar lo mismo en el caso general, es decir, cuando en lugar de 100 se use “n”.
Mi siguiente comentario es
Mi siguiente comentario es sobre la afirmación que dice:
Hasta antes de esta afirmación se había estudiado el primer comentario de B, “Eso yo ya lo sabía”, y se propone realizar una lista con los posibles valores de b, que deberán ser número impares menores que 53 no expresables como 2+(primo), he aquí dicha lista:
Considero que la respuesta correcta al cuestionamiento planteado por el M.C. Muñoz Delgado, es la siguiente:
Al igual que nosotros, A ha construido la lista de las posibilidades de “b”, con lo que, para determinar los valores de “x”, “y” bastará con expresar “a” de sus distintas maneras como el producto (par)x(impar) y calcular las distintas sumas que resultan de sumar estos dos factores, de aquí resulta una nueva lista de posibilidades para b. Entonces, la única forma de que A concluya es que ambas listas tengan un único elemento en común.
Ilustremos esto con un ejemplo, supongamos que a=310, entonces claramente, antes de hablar con B, A no pude saber quien es x, y. Después de que B le dice el primer comentario, A sabe que los posibles valores para b son los dados en la listas arriba mencionada y a la vez sabe qué como a=2x5x31 entonces b puede ser 2+155=157, 10+31=41 ó 62+5=67 de donde A puede concluir que x=10, y=31.
En este ejemplo se observa también que “a” no necesariamente debe tener factorización única como (par)x(impar), almenos hasta este paso de la solución.
Sin embargo podemos rescatar la argumentación como sigue. La observación relevante es que: si “b” es suma de una potencia de dos y un primo, de al menos dos formas distintas, entonces B no podría afirmar que el también ya sabe cuales son lo números. Por lo cual, b =17, 29, 41 ó 53 (esta reducción de casos se debe a que los demás valores son expresables de dos formas distintas como suma de una potencia de dos más un primo).
Ahora bien, con el ejemplo planteado arriba se descarta la posibilidad de que b=41, pues 41=4+43=10+31, en ambos casos A sabría cuales son los valores, por lo cual, B no podría decidir cual de estas dos posibilidades tomar. Análogamente se puede descartar 29 (=16+13=10+19) y 53 (=16+37=10+43), por lo que el único valor posible para “b” es 17.
Cómo b=17, entonces sólo hay 7 posibles valores para “a” (2×15, 4×13, 6×11, 8×9, 10×7, 12×5 y 14×3), y analizando cada una se observa que en el único caso donde A pude deducir los valores de “x” y “y” es cuando a=4×13, por lo tanto, B puede deducir después de A, que los valores son x=4, y=13.