Una factorización notable (en la IMO 69)

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Demuestre que existen infinitos $ m $ enteros positivos tales que $n^4 + m$ es un número compuesto para cualquier $ n $ entero positivo.




Imagen de j_ariel

Cierto, la identidad de

Cierto, la identidad de Sophie-Germain (de una mujer :D) es muy poderosa, ha aparecido en algunas olimpiadas viejitas y otras no tan viejitas. Pensé en ella cuando vi el enunciado que puso, y, en efecto, con eso se resuelve muy rápido y casi directo. Es una identidad muy bonita, y que los estudiantes tengan en su mente esta identidad puede dar cierta ventaja (de tiempo, principalmente) en algún concurso respecto a otros estudiantes.

Mi pregunta es, ¿hay alguna forma de resolverlo sin utilizar Sophie-Germain?

Saludoz.

Imagen de Luis Brandon

Claro, el problma pide

Claro, el problma pide demostrar que existen infinitos m de esa forma, asi que lo que se busca es demostrar que para alguna forma de $m$, existe una factorizacion tal que almenos dos productos de esa factorisacion son mayores de 1 asi seria compuesto, de ahi la idea es clara completar una suma de cuadrados y despues factorisar, de ahi podemos ir poniendo a $m$ como algunos cuadrados hasta llegar a la forma $4r^4$, yo resolvi el problema y no lo hise con Sophie Germain, lo hice por fuerza bruta aunque no se le llamaria asi si la forma de $m$ te sale en el cuarto intento. Por cierto busca en problema zzq uno que dice excalibur esta muy bueno para que lo intentes a ver si propones una tercera solucion, saludos y gracias por explicarme lo de como poner figuras, en serio me sirvio!!

Imagen de j_ariel

Me da gusto escuchar eso :D.

Me da gusto escuchar eso :D. Gracias por la explicación :D. Y sí, con mucho gusto checaré el problema que dices :D. Saludoz.

Imagen de Luis Zapata Arellano

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