El número de resultados favorables es ciertamente el número de soluciones de la diofantina $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=12$ con la restricción de que $x_i\in\{1,2,3,4\}$.
La solución se puede encontrar por enumeración o bien con funciones generatrices.
Por enumeración, hay que ver que los casos posibles (en orden lexicográfico) son:
11244
11334
12333
12234
22224
22233
Para cada una de esas posibilidades hay que obtener las permutaciones con repetición, y son:
$$5!/(2!2!)=30$$
$$30$$
$$20$$
$$60$$
$$5$$
$$5!/(2!3!)=10$$
Y esto suma 155. (El problema con este método de solución es que hay que tener cuidado en que no se omita ningún caso.)
Por funciones generatrices, hay que razonar de al siguiente manera:
1) El vértice superior de un tetraedro puede ser cualquiera de los cuatro, y eso se expresa con los exponentes de la $x$ en la expresión
$$x+x^2+x^3+x^4$$
(Y su número se obtiene haciendo $x=1$, es decir, son 4 posibilidades.)
Ahora bien, el tetraedro se lanza 5 veces y ese hecho se modela con la expresión
$$(x+x^2+x^3+x^4)^5$$
Es decir, el número de casos favorables es el coeficiente de $x^{12}$ en su expansión. Ahora solamente hay que aplicar un poco de manipulación algebraica:
1)Primero hay que factorizar la x del polinomio,
2)después hay que ver que la expresión (la función generatriz) es equivalente a
$$x^5(1+x+x^2+x^3)^5$$
3)Después darnos cuenta que $1+x+x^2+x^3=(1-x^4)/(1-x)$
4) y factorizar la diferencia de cuadrados:
$$ 1-x^4=(1-x)(1+x)(1+x^2)$$
5) Volviendo a la función generatriz se logra ver que se puede cancelar $1-x$ y
$$(x+x^2+x^3+x^4)^5=x^5(1+x+x^2+x^3)^5=x^5(1+x)^5(1+x^2)^5$$
6) Ahora expandimos los binomios:
$$x^5(1+x)^5(1+x^2)^5=x^5(1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5)(1+5x^2+10x^4+10x^6+5x^8+x^{10})$$
7) Finalmente, por inspección se llega a que el coeficiente de $x^{12}$ en la expansión es:
$$50+100+5=155$$
Así que la probabilidad buscada es $$155/4^5$$
