Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P6. Más de Desigualdades Tamaulipas
P5. Sobreexplotando la configuración del ortocentro con una concurrencia.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Sea $\Omega$ el circunírculo de $BHC$. Las rectas $AH$ y $AC$ cortan a $\Omega$ en $D \neq H$ y $E\neq C$ respectivamente. Sea $F \neq D$ la segunda intersección de $CD$ con el circuncírculo de $AED$. Demuestra que $AF, \ BC$ y $DE$ concurren.
P4. La vaca saturno saturnita y su polígono de focos
P3. Paralelas con una tangente
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $D$ el pie de altura desde $A$ a $BC$, de tal forma que $AH=HD$. Sea $\mathcal{Z}$ el circuncírculo de $BHC$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\mathcal{Z}$ por $H$, de tal forma que $\ell$ corta a $AB$ en $S$ y a $AC$ en $T$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$ respectivamente. Demuestra que $SM$ es paralela a $TN$.
P2. Sam vs Hugo, monedas en fila
Sam y Hugo juegan con $n$ monedas, todas con $A$ en una cara y $S$ en la otra. Las monedas están puestas en fila sobre la mesa. Sam y Hugo se turnan. En su turno, Sam puede voltear una o más monedas, siempre que no voltee dos adyacentes; mientras Hugo elige exactamente dos monedas adyacentes y las voltea. Al comenzar el juego, todas las monedas muestran $A$. Sam juega primero y gana si todas las monedas muestran $S$ simultáneamente en cualquier momento. Halla todos los $n\geq 1$ con los que Hugo puede evitar que Sam gane.
P1. El regreso del piso, el ascenso del techo
6. Aplicación del EFR
5. Divisores cuadrados vs el doble
Sea $1=d_1<d_2<\dots<d_k=n$ todos los divisores del entero positivo $n$, donde $k\geq 5$. Determina si exsiste alguna $n$ que cumpla que $$2n=d_3^2+d_4^2+d_5^2$$
4. Un cuadrado mágico perfecto
Los números del 1 al 360 se reparten en 9 subconjuntos, de tal forma que la suma de cada subconjunto se coloca en un cuadrado de $3 \times 3$. ¿Será posible que el cuadrado de $3 \times 3$ sea un cuadrado mágico?
3. Una desigualdad, muchas soluciones.
2. Perpendicular a un lado con dos circunferencias.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ y $\Gamma$ el círculo que pasa por los 3 vértices de $ABC$. Sea $\omega$ la circunferencia de radio $AB$ con centro $A$. $\omega$ corta a $\Gamma$ en $F \neq B$. Sea $G$ la segunda intersección de $CF$ con $\omega$ tal que $G \neq F$. Demuestra que $AC$ es perpendicular a $BG$.
P1. Aparición épica de Deker en la OMM Tamaulipas
Sea $n$ un entero positivo y sea $s(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ es $deker$ si $2s(n)=s(2n)$. Demuestra que existen más de 2025 números $deker$ de 5 dígitos.
(CIIM P5, 2013) Matrices y conjugación
P6. Desigualdades Tamaulipas para un número real
Sean $a$ y $b$ enteros positivos y $c$ un número real positivo tal que $$\frac{a+1}{b+c}=\frac{b}{a}$$
Demuestra que $c \geq 1$.
P5. Revive la Geocombi en un 15-ágono regular
En un círculo, se dibuja una 15-ágono regular y se forman triángulos arbitrarios conectando 3 de sus vértices. ¿Cuántos triángulos no congruentes se pueden dibujar?
P4. 4 números en el 4 del selectivo
Sean $a,b,k$ enteros no negativos y sea $p$ un número primo positivo. Encuentra todas las cuaternas $(a,b,p,k)$ tales que $$a^2+b^2+p^2=2^k$$
P3. Coloreando la recta numérica
Cada número entero de la recta numérica se pinta de rojo o azul según las siguientes reglas:
- El número $1$ es rojo.
- Si $a$ y $b$ son dos números rojos, no necesariamente diferentes, entonces los números $a-b$ y $a + b$ tienen colores diferentes.
Determina el color del número $2025$.
P2. Números Tamaulipecos al estilo de Gauss
Sean $m,n$ enteros positivos tal que $m$ tiene $n$ dígitos. Sea $m=\overline{a_n\dots a_2a_1}$. Decimos que $m$ es $tamaulipeco$ si se cumple que $a_{n-k+1}+a_k=3$ para todo $1 \leq k \leq n$. Sea $s(m)$ la suma de los dígitos de $m$. Encuentra el menor número $tamaulipeco$ tal que $s(m)=2025$.
P1. 24 sí y solo sí 48
Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Sea $D$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $AD = AB$. Demuestra que $\angle DBC=24^{\circ}$ sí y sólo sí $\angle ABC - \angle ACB = 48^{\circ}$.
P6. Matilda colocando fichas en la cuadrícula
Considere una cuadrícula de $2025 \times 2025$ cuadrados unitarios. Matilda desea colocar en la cuadrícula algunas fichas rectangulares, posiblemente de diferentes tamaños, de modo que cada lado de cada ficha se encuentre sobre una línea de la cuadrícula y cada cuadrado unitario esté cubierto como máximo por una ficha.
Determine el mínimo número de fichas que Matilda debe colocar para que cada fila y cada columna de la cuadrícula tenga exactamente un cuadrado unitario que no esté cubierto por ninguna ficha.