Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
3. Una desigualdad, muchas soluciones.
2. Perpendicular a un lado con dos circunferencias.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ y $\Gamma$ el círculo que pasa por los 3 vértices de $ABC$. Sea $\omega$ la circunferencia de radio $AB$ con centro $A$. $\omega$ corta a $\Gamma$ en $F \neq B$. Sea $G$ la segunda intersección de $CF$ con $\omega$ tal que $G \neq F$. Demuestra que $AC$ es perpendicular a $BG$.
P1. Aparición épica de Deker en la OMM Tamaulipas
Sea $n$ un entero positivo y sea $s(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ es $deker$ si $2s(n)=s(2n)$. Demuestra que existen más de 2025 números $deker$ de 5 dígitos.
(CIIM P5, 2013) Matrices y conjugación
P6. Desigualdades Tamaulipas para un número real
Sean $a$ y $b$ enteros positivos y $c$ un número real positivo tal que $$\frac{a+1}{b+c}=\frac{b}{a}$$
Demuestra que $c \geq 1$.
P5. Revive la Geocombi en un 15-ágono regular
En un círculo, se dibuja una 15-ágono regular y se forman triángulos arbitrarios conectando 3 de sus vértices. ¿Cuántos triángulos no congruentes se pueden dibujar?
P4. 4 números en el 4 del selectivo
Sean $a,b,k$ enteros no negativos y sea $p$ un número primo positivo. Encuentra todas las cuaternas $(a,b,p,k)$ tales que $$a^2+b^2+p^2=2^k$$
P3. Coloreando la recta numérica
Cada número entero de la recta numérica se pinta de rojo o azul según las siguientes reglas:
- El número $1$ es rojo.
- Si $a$ y $b$ son dos números rojos, no necesariamente diferentes, entonces los números $a-b$ y $a + b$ tienen colores diferentes.
Determina el color del número $2025$.
P2. Números Tamaulipecos al estilo de Gauss
Sean $m,n$ enteros positivos tal que $m$ tiene $n$ dígitos. Sea $m=\overline{a_n\dots a_2a_1}$. Decimos que $m$ es $tamaulipeco$ si se cumple que $a_{n-k+1}+a_k=3$ para todo $1 \leq k \leq n$. Sea $s(m)$ la suma de los dígitos de $m$. Encuentra el menor número $tamaulipeco$ tal que $s(m)=2025$.
P1. 24 sí y solo sí 48
Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Sea $D$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $AD = AB$. Demuestra que $\angle DBC=24^{\circ}$ sí y sólo sí $\angle ABC - \angle ACB = 48^{\circ}$.
P6. Matilda colocando fichas en la cuadrícula
Considere una cuadrícula de $2025 \times 2025$ cuadrados unitarios. Matilda desea colocar en la cuadrícula algunas fichas rectangulares, posiblemente de diferentes tamaños, de modo que cada lado de cada ficha se encuentre sobre una línea de la cuadrícula y cada cuadrado unitario esté cubierto como máximo por una ficha.
Determine el mínimo número de fichas que Matilda debe colocar para que cada fila y cada columna de la cuadrícula tenga exactamente un cuadrado unitario que no esté cubierto por ninguna ficha.
P5. Jugando con ecuaciones raras
Alicia y Bazza juegan al $inekoalaty$, un juego para dos jugadores cuyas reglas dependen de un número real positivo $\lambda$ conocido por ambos. En el turno $n$ del juego (comenzando con $n=1$) ocurre lo siguiente:
- Si $n$ es impar, Alicia elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1 + x_2 + \dots + x_n \leq \lambda n$$
- Si $n$ es par, Bazza elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \leq n$$
Si un jugador no puede elegir un $x_n$ adecuado, el juego termina y el otro jugador gana. Si el juego continúa indefinidamente ningún jugador gana. Ambos jugadores conocen todos los números elegidos.
P4. Divisores propios en una sucesión infinita
Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$.
La sucesión infinita $a_1, \ a_2, \dots$ está formada por enteros positivos, cada uno con al menos 3 divisores propios. Para cada $n \geq 1$ el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$.
Determina todos los valores posibles de $a_1$.
P3. Funciones Bonza
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama $genial$ si
$$f(a) | b^a-f(b)^{f(a)}$$
Para todos los enteros positivos $a, b$.
Determine la menor constante real $c$ tal que $f(n) \leq cn$, para todas las funciones $geniales \ f$ y todos los enteros positivos $n$.
P2. Paralela tangente a un circuncírculo
Sea $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$ respectivamente tales que el radio de $\Omega$ es menor al radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C, \ M,\ N, \ D$ están en esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E \neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F \neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $PMN$.
Demuestre que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BEF$.
P1. Rectas soleadas
Una recta del plano se llama $soleada$ si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$, ni a la recta $x+y=0$.
Sea $n \geq 3$ un entero dado. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano tal que:
- Para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b \leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de las rectas
- Exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas
P8. Permutando 2n números y múltiplos.
Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(n, m)$ que cumplan lo siguiente: existe un entero impar $r$ con $0<r \leq m-1$, y una permutación $\{a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\}$ de $\{2, 3, \dots , 2n, 2n+1\}$ tales que los $n$ números
$$a_1b_1-r, a_2b_2-r, \dots , a_nb_n-r$$
son todos múltiplos de $m$.
P7. Contando el producto ij.
Sea $n$ un entero positivo. Se numeran los renglones y las columnas de una cuadrícula de $n \times n$ del 1 al $n$. Dentro de cada cuadrito se escribe un entero no-negativo de manera que el entero escrito en el cuadrito del renglón $i$ y la columna $j$ es igual a la cantidad de cuadritos que tienen escrito el producto $i \cdot j$. Determina de cuántas maneras se puede hacer esto.
P6. Razones entre cíclicos dobles y pies de perpendicular.
Sea $ABCD$ un cuadrilatero cíclico y $E$ el punto de intersección de sus diagonales. La circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $BEC$ corta a la recta $AB$ en $F$ y a la recta $CD$ en $G$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre la recta $BC$ y sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre la recta $AD$. Demuestra que:
$$\frac{AF}{DG}=\frac{AP}{BQ}$$
P5. Polinomio con coeficientes en progresión geométrica
Sea $a_0, a_1, a_2, \dots$ una sucesión geométrica estrictamente creciente. Determina todos los números reales $x$ para los cuales existe $n \geq 0$ tal que:
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1x + a_0=0$$
Nota: Una sucesión geométrica es estrictamente creciente si existe una constante $r$ tal que $a_{n+1}=a_n\cdot r$ y además $a_{n+1}>a_n$ para toda $n \geq 0$.