Teorema de Ceva

Enviado por jmd el 18 de Febrero de 2009 - 09:32.
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Sean $ ABC $ un triángulo y $ P, Q, R $ tres puntos sobre los lados $ AB, BC, CA $, respectivamente. La condición necesaria y suficiente para que las cevianas $ AP, BQ, CR $ sean concurrentes es que el producto de las razones $ AP/PB, BQ/QC, CR/RA $ sea la unidad.

Demostración(es)
Demostración: 

Paralelas a cevianas BQ y CR

Esta demostración es un excelente ejercicio para aprender el uso del teorema de Tales y su visualización en una figura. Primero tracemos las paralelas $ AB' $ y $ AC' $ a las cevianas $ BQ $ y $ CR $. El plan es encontrar razones equivalentes a AR/RB, BP/PC, CQ/QA de tal manera que se cancelen en la multiplicación. Eso lo vamos a lograr aplicando Tales. Para ello hay que focalizar ciertas configuraciones de Tales.

 

Tales con paralela a CR

Primero vemos que, por Tales, AR/RB=C'C/CB.

 

 

Ligando las dos perspectivas

Después vemos que, aplicando dos veces Tales, PB//BB'=PG/GA=PC/CC'. Es decir, BP/PC=BB'/CC'.

Tales con paralela a BQ

Finalmente, focalizando Tales con la otra paralela, CQ/QA=CB/BB'.

Se deja al lector la tarea de terminar la demostración.

Nota: algunos nombres de puntos están alrevesados (editar las figuras será tarea de otra sesión)

Ver también: 
Ceviana (Definición)
Ver también: 
Concurrencia (de rectas) (Definición)