Demostrar perpendicular

Enviado por jmd el 1 de Mayo de 2012 - 07:22.

Sean $ABC$ un triángulo rectángulo y $M$ el punto medio de la hipotenusa $BC$. Sus catetos cumplen que $CA$ es menor que $AB$. Se coloca un punto $D$ sobre $AB$ de manera que $CA = AD$. Finalmente, sea $E$ el punto común de $AM$ y $CD$. Si $F$ es un punto sobre $BC$ tal que $EF$ es paralela a BC $AC$, demostrar que $AM$ es perpendicular a $FD$.

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Si $E$ fuera ortocentro de un triángulo con $FD$ uno de sus lados...

Solución

Por:

jmd

Fecha:

19 May 2012

Solución:

Si $E$ fuera ortocentro de algún triángulo de base $DF$... Tal triángulo podría ser el $ADF$ --pues $FE$ es ya altura, dado que $FE$ es paralela a $CA$ y, por tanto, perpendicular a $AD$. Si demostramos que $CE$ es perpendicular a $AF$ el problema estaría resuelto. Para demostrar que $CE$ es perpendicular a $AF$ observemos primero que $CAEF$ es trapecio isósceles y, por tanto, es cíclico. Se puede entonces establecer que sus diágonales son perpendiculares (ver figura) --dado que $AM$ es mediana a la hipotenusa y $CAD$ es isósceles rectángulo por datos. Se sigue que $DE$ es altura de $D$ respecto a la base $AF$ en el triángulo $ADF$.

Figura del problema del problema de geomtería de a 9 Onmas

No está mal la redacción de

Enviado por cuauhtemoc el 18 de Mayo de 2012 - 17:40.

No está mal la redacción de este problema jmd ?? Porque si F es un punto sobre BC, entonces EF no puede ser paralela a BC, porque se intersectarían en F.

Saludos

Cierto. Voy a tratar de

Enviado por jmd el 18 de Mayo de 2012 - 18:40.

Cierto. Voy a tratar de encontrar la copia original del examen. Gracias por la observación cuauhtemoc.

Te saluda

jmd

PD: Ya está. Decía "paralela a BC" y debe ser "paralela a AC" (No encontré el texto original, pero con este cambio todo adquiere sentido.)