Media armónica de las bases de un trapecio.

Sea ABCD un trapecio con AB paralelo a CD. Sea E el corte de AD con BC, sea M el punto se interseccion de las diagonales del ABCD, sea N el punto de interseccion de PM con AB y sea F un punto en la proyeccion de AB tal que BF=CD.

Ya que las cevianas AC, BD y EN concurre, por el teorema de ceva tenemos que $$\frac{AP}{PE}\cdot \frac{EQ}{QB}\cdot \frac{BN}{NA}=1$$ ahora como PQ es paralelo a BC, tenemos que $$\frac{AP}{PE}=\frac{EQ}{QB}\Rightarrow \frac{AP}{PE}\cdot \frac{QB}{EQ}=1$$ donde reemplazando en la ecuacion anterior nos queda que N es el punto medio de $AB$. Entonces como PQ es paralela a AB, tenemos que $$\frac{AN}{PM}=\frac{EN}{EM}=\frac{NB}{MQ}\Rightarrow PM=MQ$$

Ahora observemos por otro lado que como $BF=CD$ y BF es paralelo a CD entonces BFCD es un paralelógramo, por lo tanto $$\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AF}$$ Pero como PM es paralelo a CD entonces $$\frac{PM}{CD}=\frac{AM}{AC}$$ donde uniendo las últimas 2 ecuaciones obtenemos $$\frac{PM}{CD}=\frac{AB}{AF}\Rightarrow PM=\frac{AB\cdot CD}{AF}$$ y usando el hecho que $AF=AB+CD$ tenemos que $$PQ=2\cdot PM=\frac{2\cdot AB\cdot CD}{AB+CD}\ \ \ \ \ \blacksquare$$

Muy buena solución, sólo que cometiste algunos errores de dedo.

Ya que las cevianas AC, BD y EN concurre, por el teorema de ceva tenemos que

$$ \frac{AP}{PE}\cdot \frac{EQ}{QB}\cdot \frac{BN}{NA}=1$$

En realidad se tiene que:

$$\frac{AD}{DE} \cdot \frac{EC}{CB} \cdot \frac{BN}{NA}$$

También pusiste que:

ahora como PQ es paralelo a BC, tenemos que

$$ \frac{AP}{PE}=\frac{EQ}{QB} \Rightarrow \frac{AP}{PE}\cdot \frac{QB}{EQ}=1 $$

Como P y Q ya no aparecen en la identidad de Ceva que pusiste, no necesitas lo anterior, necesitas:

ahora como DC es paralelo a BC, tenemos que

$$ \frac{AD}{DE}=\frac{CB}{EB} \Rightarrow \frac{AD}{DE} \cdot \frac{EC}{CB} = 1 $$

Con estos cambios se logra probar correctamente que M es el punto medio de PQ. Aunque, se puede evitar lo de probar que M es el punto medio tan sólo diciendo: al igual que $PM = ab/(a+b)$ también se puede probar que $MQ = ab/(a+b)$.y por lo tanto se tiene el resultado.

Por otro lado, noté que subiste la imagen a otro sitio (como Zzq propone). Te sugiero leer la entrada de blog  ¿Cómo subir imágenes a MaTeTaM? [1] para ver otra forma de poner imágenes. Creemos que es más fácil. Nos gustaría que intentaras este método la próxima vez para ver si quedó bien habilitada está funcionalidad.

Saludos

Es un problema muy bonito.

Sea $ABCD$ el trapecio, sea $P$ el punto de intersección de las diagonales, y sean $ M$ y $ N$ las intersecciones de la paralela a $AB$ que pasa por $P$ con $ BC$ y $DA$, respectivamente.

Como en la figura, nombramos a los segmentos de esa manera. Vemos que $\mu=\mu_1+\mu_2$. Lo que queremos probar equivale a probar que:

\[\mu = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\ \iff \ \frac{\mu}{a} + \frac{\mu}{b} = 2 \]

Por Thales en $\triangle ACD$ y $\triangle BCD$ tenemos

$\displaystyle \frac{\mu_1}{a} = \frac{x_2}{x_2+y_2}$ ... (1)

$\displaystyle \frac{\mu_2}{a} = \frac{x_1}{x_1+y_1}$ ... (2)

y aplicando Thales en $\triangle ABD$ y $\triangle ABC$ tenemos

$\displaystyle \frac{\mu_1}{b} = \frac{y_2}{x_2+y_2}$ ... (3)

$\displaystyle \frac{\mu_2}{b} = \frac{y_1}{x_1+y_1}$ ... (4)

Sumando (1), (2), (3), (4) tenemos

$\displaystyle \frac{\mu_1}{a} + \frac{\mu_2}{a} + \frac{\mu_1}{b} + \frac{\mu_2}{b} = \frac{x_2}{x_2+y_2} + \frac{x_1}{x_1+y_1} + \frac{y_2}{x_2+y_2} + \frac{y_1}{x_1+y_1}$

$\displaystyle \frac{\mu}{a} + \frac{\mu}{b} = 2$

que era lo que queríamos probar.

Muy padre solución. La voy a poner como la solución oficial a este problema.

Saludos