Desigualdad con suma de radicales

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Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x + y + z = 3$. Si
$$S = \sqrt{2x + 3} + \sqrt{2y + 3} + \sqrt{2z + 3},$$
pruebe que $6 < S \leq 3\sqrt{5}$




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¿Alguien ha podido resolver

¿Alguien ha podido resolver este problema?
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Chécate las siguientes

Chécate las siguientes desigualdades:

http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Root-Mean_Square-Arith...

Saludos

 

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Bueno, la demostración de la

Bueno, la demostración de la desigualdad derecha es casi inmediata con el uso de la Media potencial y la Media aritmética, pero me he complicado con la parte izquierda, ¿me podrías dar algún hint adicional para poder llegar a la demostración? (no sé por qué pero me he quedado con éste problema en la cabeza) Saludos.
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Tienes razón, la desigualdad

Tienes razón, la desigualdad derecha es casi inmediata. La otra sí es menos obvia. Pues te voy a dar una sugerencia de acuerdo a cómo resolví el problema. Espero encontra algo más elegante. Primero..., la técnica que uso es primero la desigualdad de la media geométrica con la aritmética y depués uso la siguiente observación:

Considera el producto $(x+\alpha)(y+\alpha)(z+\alpha)$ con $x+y+z = \beta$ y $x, y, x $ reáles no negativos y $\alpha, \beta$ positivos. El producto alcanza su valor mínimo cuando $x, y $ o $z$ es exactamente $\beta$.

Esta observación parte del principio de que el producto de reales positivos cuya suma es constante aumenta (o disminuye) de acuedo a si disminuimos (o aumentamos) las diferencias entre pares de factores.

Saludos

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Hola,  Soy nuevo en el blog,

Hola, 

Soy nuevo en el blog, buscaba algo sobre olimpiadas y di con el blog , me gusto mucho y me registre. Tengo interes en preparme para olimpidas es por ello que me surge esta primera duda.

Jesus, seria posible que detallaras esta parte de la sugerencia que das?

Esta observación parte del principio de que el producto de reales positivos cuya suma es constante aumenta (o disminuye) de acuedo a si disminuimos (o aumentamos) las diferencias entre pares de factores.

y por  último queria saber como escribir en latex en el blog

Gracias.

 

 

 

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Hola Weldersay, bienvendio a

Hola Weldersay, bienvendio a MaTeTaM espero y te guste.

Mira, sobre la observación que mencionas, creo que me faltaron algunas comas, pero de cualquier manera deja darte un ejemplo:

Suponte que $a+b=10$ (suma constante igual a diez) y queremos encontrar el valor más grande de $ab$. La diferencia de los dos factores del producto es $|a-b|$ ($a$ y $b$ son factores del producto $ab$).  Si esta diferencia es 8, entonces los factores deberan ser 1 y 9; por lo tanto el producto será ab = 1x9 = 9. Pero si esta diferencia diminuye, a digamos a 6, entonces los factores serán 2 y 8, y por lo tanto el producto será ab = 2x8 = 16 que es mayor a 1x9 = 9. Y esto es en general entre menor sea la diferencia de $a$ y $b$, mayor valdrá su producto $ab$; no hay que olvidar que asumimos que la suma $a+b$ es contante (en nuestra explicación, $a + b = 10$).

La explicación matemática de este hecho, se sigue de la fórmula: $$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 $$

Saludos,
Jesús

P.D. Sobre el LaTeX es muy sencillo, todo lo que quieras escribir en fomato matemático lo escribes entre símbolos de pesos. Revisa el acordeón de latex como primera aproximación a la notación de LaTeX, para este sitio no necesitarás más allá de eso.

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Hola Jesus, Gracias por tu

Hola Jesus,

Gracias por tu respuesta, ¿cuál seria la explicación matemática para el producto de tres números? que es el caso del problema planteado.

y ,según entendí. Esto es lo que hice.

Brevemente.

por desigualdad de las medias. $$\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}\geq 3\sqrt[6]{(2x+3)(2y+3)(2z+3)}$$ Ahora como $2x+2y+2z=6$ el producto $(2x+3)(2y+3)(2z+3)$ tomará su mínimo valor cuando cuando $2x,2y\ o\ 2z$ es exactamente $6$ entonces $$\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}\geq 3\sqrt[6]{(3)(3)(6+3)}=3^{5/3}>6$$

 

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Hola, Para la justificación

Hola,

Para la justificación del caso del producto de tres número, puedes dejar fijo uno (digamos $z$) y aplicar la desigualdad para los otros dos (su suma será constante $6-2z$). Luego vuelves aplicar la desigualdad para el producto restante, que será otro producto con suma constante. Deberás utilizar además que el valor de $z$ no puede exceder 3.

Saludos

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Hola,  entonces, fijando $z$

Hola, 

entonces, fijando $z$ tendremos:

$(2x+3)(2y+3)=( \frac{2x+3+2y+3}{2})^2-( \frac{2x+3-2y-3}{2})^2$

y como $2x+2y=6-2z$ ,constante.

Queda, $(2x+3)(2y+3)=(6-z)^2-(x-y)^2$

$(2x+3)(2y+3)=(6-z)^2-(x^2+y^2-2xy)$

y ahora  como $x+y=3-z$ entonces $x^2+y^2=(3-z)^2-2xy$

entonces $(2x+3)(2y+3)=(6-z)^2-(3-z)^2+4xy$ y repitiendo el mismo argumento para $4xy$

se tendria. $(2x+3)(2y+3)=(6-z)^2-(x-y)^2$

Finalmente $(2x+3)(2y+3)(2z+3)=((6-z)^2-(x-y)^2)(2z+3)$ donde el producto de $(2x+3)(2y+3)(2z+3)$ disminuye o aumenta de acuerdo a si aumentamos o disminumos la diferencia de $(x-y)$

PD. ¿Hay alguna restriccion para fijar variables?  

Me gustaria  saber mas sobre esta técnica ( si de una técnica se trata) sobre las insatacias de uso.

Gracias y saludos.

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Me quedé esperando tu

Me quedé esperando tu respuesta. Pero mira, tal vez me faltó darte otro hint.

Para demostrar que el producto de dos números $ab$ disminuye (o aumenta) cuando aumentamos (o disminuimos) la diferencia $|a -b|$ basta con observar la siguiente identidad: $$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$

Si tienes alguna duda no dudes en escribir.

Saludos

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Probar que $6<S$ es sencillo

Probar que $6<S$ es sencillo asi que solo demostraré que $S \leq 3\sqrt{5}$. La idea clave es demostrar que $ S\sqrt{5} \leq 15$ Notemos que por MA-MG: $$ (*)        \sqrt{5(2x+3)} \leq \frac{8+2x}{2} = x+4$$ Con igualdad si y solo si $ 2x + 3 = 5$ es decir si $x=1$ Haciendo lo mismo con los otros dos radicales obtenemos: 

$$ S\sqrt{5} = \sqrt{5(2x+3)} + \sqrt{5(2y+3)} + \sqrt{5(2z+3)} \leq (x+4) + (y+4) + (z+4) = 15 $$ La igualdad se da si en cada desigualdad $(*)$ se da la igualdad si y solo si $x=y=z=1.$

 Acabamos.

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Es una idea verdaderamente

Es una idea verdaderamente genial Germán. Según me acuerdo, la solución oficial es muy engorrosa debido a una larga cadena de desigualdades. Eso me hace pensar que ni siquiera el diseñador del problema conoce tu solución.

Te saluda 

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Lamentablemente, solo es una

Lamentablemente, solo es una demostracion más de desigualdad ''de la derecha'' como se comenta arriba, crei que la solucion a la que le llamaban sencilla era 6 < S porque según yo le habia encontrado una solucion muy rapida(que estaba equivocada) asi que solo me dedique a la de la izquierda que de pasó me quedo my bonita la demostracion pero no era muy complicado hacerlo con la media cuadratica tambien. Ahora bien, demostrar que S>6 se hace como sigue:

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Notemos que $2x+3 = 2x +

Notemos que $2x+3 = 2x + x+y+z = (x+y+z)x + y+z = x^2 + (x+1)(y+z)$ denotemos por $ a = (x+1)(y+z) $ de manera analoga definiremos $b,c$ para $y,z$ respectivamente. Ahora aplicando MG-MH tenemos $(x+1)(y+z) \geq (\frac{(x+1)(y+z)}{2})^2$ es decir $a \geq (\frac{a}{2})^2$ es decir $ \sqrt{2x + 3} \geq \sqrt{x^2 + (\frac{a}{2})^2} = x_1$ de manera analoga definiremos $y_1 , z_1$ entonces podemos probar que $x_1 + y_1 + z_1 \geq 6$ si dividimos ambas expresiones entre $\sqrt{8}$ la de la derecha se reduce a $\frac{3}{\sqrt{2}}$. Esto para hacer lo siguiente. Notemos que $$\frac{x_1}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{x^2 + (\frac{a}{2})^2}{8}} = \sqrt{\frac{4(\frac{x}{2})^2 + 4(\frac{a}{4})^2}{8}} \geq \frac{4\frac{x}{2} + 4\frac{a}{4}}{8}$$ despues de haber aplicado MA-MC en la ultima parte. Haciendo lo mismo con los otros dos radicales podemos notar que $$\frac{x_1 + y_1 + z_1}{\sqrt{8}} \geq \frac{2(x+y+z) + a+b+c}{8}$$ queremos demostrar que esta ultima expresion es mayor a $\frac{3}{\sqrt{2}}$ por la simetria de las expresiones a,b,c sabemos que $a+b+c = 2(x+y+z + xy+ yz+ zy)$ y pasando el 8 asi el otro lado queda que $ 4(x+y+z) + 2(xy+yz+zx) \geq 12$ Lo cual es cierto pues $x+y+z = 3$ y $2(xy + yz +zx) \geq 0$.

Agradeceria que me corrigieran.

Saludos

Germán.

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Saludos Germán, siempre es un

Saludos Germán, siempre es un gusto que nos visites en MaTeTaM.

No había tenido tiempo de leer tu solución y por fin me di un momento. La primera vez que la leí me pareció correcta, pero ahora que la leí con más cuidado creo que encontré un error, te lo señalo a continuación, a ver qué opinas.

Según entiendo, las desigualdades que demostraste fueron las siguientes:

$$\frac{S}{\sqrt{8}} \geq \frac{x_1+x_2+x_3}{\sqrt{8}} \geq \frac{4(x+y+z) + 2(xy+yz+zx)}{8}$$

Y luego afirmas que la numerador de la última desigualdad es mayor o igual a 12. Así que quedaría: $$\frac{S}{\sqrt{8}} \geq \frac{12}{8} $$

Que equivale a que $S \geq 3\sqrt{2}$ ... ¡pero esto es una cota más floja!

¿Cómo ves?

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Hola Jesús :)  Cierto..! ya

Hola Jesús :) 

Cierto..! ya vi el error, esta en que queria demostra que la expresion era mayor a $\frac{3}{\sqrt{2}}$ y al ''pasar'' el 8 al otro lado resultaba $\frac{3}{\sqrt{2}} \times 8 = 12$ lo cual no es cierto..... seguire intentandolo entonces. 

Gracias por tu observación.

 

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A ver que tal asi: La

3

A ver que tal asi:

La desigualdad pedida es equivalente a demostrar que $$ \sqrt{9(2x+3)} + \sqrt{9(2y+3)} + \sqrt{9(2z+3)} > 18$$ Aplicando MG-MH a cada radical, bastara probar que: $$ \frac{2\times9(2x+3)}{2x+12} + \frac{2\times9(2y+3)}{2y+12} + \frac{2\times9(2z+3)}{2z+12} \geq 18$$ haciendo las cancelaciones pertinentes es equivalente a demostrar que $ \frac{2x+3}{2x+12} + \frac{2y+3}{2y+12} + \frac{2z+3}{2z+12} = 3 - \frac{9}{2}(\frac{1}{x+6} + \frac{1}{y+6} + \frac{1}{z+6}) \geq 1$ que ocurre solamente si $$ \frac{1}{x+6} + \frac{1}{y+6} + \frac{1}{z+6} =$$

$$ \frac{xy + yz + zx + 144}{xyz + 6(xy+yz+zx) + 324} \leq \frac{4}{9}$$ lo cual es cierto pues $ 9(xy + yz + zx) + 9(144) \leq 4( xyz + 6(xy+yz+zx) ) + 4(324)$, es obvio ya que $ 9(144) = 1296 = 4(324)$.

No hay igualdad pues para tener la igualdad desde $S$ al pasar a MG-MH se necesitaria que los terminos fueran iguales, pero por otro lado para que exista la igualdad en esta ultima desigualdad implicaria que dos de los terminos son cero, pero no pueden ser ambas ciertas. 

Germán.

 

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Muy buena demostración

Muy buena demostración Germán, ahora sí ya no le encontré error alguno.

Saludos

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Fiu!.. alfin... me tenia

Fiu!.. alfin... me tenia atrapado este problema... nosé si habria una solucion a partir de las transformaciones de $ 2x + 3 = x^2 + (x+1)(y+z)$ se veia elegante pero ya no me quizé ir por esa ruta. La idea de multiplicar por 3 la saqué de el primer comentario que hize... dije tal ves si multiplico por algo  padre y luego aplico MG-MH, el dos de la fracciones se iria con el factor dos del seis... y bueno ya continue, otro obstaculo fue querer encontrar alguna relacion de la medias para demostrar que la suma de los reciprocos de $x+6,y+6,z+6$ era mayor a $ \frac{4}{9}$ y no quedo más que hacer la suma de fracciones y confiar en que las cosas se vieran claras y pues asi fue afortunadamente jaja.

Por cierto, los comentarios que haces arriba  ¿Eran para demostrar que $(2x+3)(2y+3)(2z+3) > 64 $ ?

Saludos y gracias nuevamente de que revisaron mis soluciones:)

Germán.

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Sí Germán, te salió bastante

Sí Germán, te salió bastante bien.  Gracias por compartirnos cómo lo razonaste.

Sobre tu pregunta, en realidad era para demostrar que $$(2x+3)(2y+3)(2z+3) \geq 81$$

Y con eso sale. Se puede demostrar que $S \geq 3^{5/3} > 6$.

Saludos