Máximos y mínimos (sin derivadas)

Enviado por jmd el 17 de Abril de 2009 - 11:07.
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Encontrar (si existen) los puntos en que la función $ f(x)=ax^2+bx+c $ (con $ a $ no nulo --de otra manera la función es lineal) obtiene su máximo y su mínimo.

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Comentarios

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#1 ¡Esto no lo enseñan en la

Enviado por jmd el 17 de Abril de 2009 - 11:30.

¡Esto no lo enseñan en la escuela!

El lector interesado en resolver el problema sin ver la solución haría bien en imitar de manera abstracta la solución del siguiente ejemplo concreto (con $ a=1 $). (La primera parte es manipulación algebraica, la segunda es un análisis cualitativo de la función --lo cual puede resultar muy difícil de realizar para el novicio. Por esa razón, quizá sea lo mejor no enseñarlo en la escuela ni en los libros --el profe o el libro se ganaría la fama de que nadie le entiende...)

$ f(x)=x^2-7x+10 $

Primero completamos el trinomio cuadrado perfecto:

$ f(x)=x^2-7x+10=f(x)=x^2-(14/2)x+10 $

Aquí, el segundo término debe ser "el doble del primero por el segundo" en la expansión de un binomio cuadrado. Por lo tanto $ -14/2=2(-7/2) $, es decir, el segundo es $ -7/2 $.

$ f(x)=x^2-7x+10=f(x)=x^2-7x+(7/2)^2-(7/2)^2+10 $

Hemos sumado y restado el cuadrado del segundo para no alterar la expresión de $ f(x) $, pero ya se tiene un trinomio cuadrado perfecto:

$ f(x)=x^2-7x+10=(x-7/2)^2-9/4 $

Ahora sigue el análisis cualitativo.

Máximo: cuando $ x $ crece (o decrece) el cuadrado crece también sin ninguna cota superior. NO HAY MÁXIMO
Mínimo: el cuadrado siempre va a se no negativo, para valores pequeños y grandes de $ x $. El mínimo se logra cuando $ x=7/2 $, con valor $ f(7/2)=-9/4 $.

¿Any questions?

 

José Muñoz Delgado

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#2 aaaaaaaaaaaaaaa kreo q s asi

Enviado por arbiter-reload el 12 de Mayo de 2009 - 18:07.

aaaaaaaaaaaaaaa kreo q s asi no???????

$ ax^2+bx+c=a[x^2+(b/a)x+c/a] $
$ =a[x^2+2(b/2a)x+b^2/4a^2-b^2/4a^2+c/a] $
$ =a[(x+b/2a)^2+c/a-b^2/4a^2]=a(x+b/2a)^2+c/a-b^2/4a $
n sta xpresion final $ a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a $
si a mayor q 0 tons no ai maximo, i el minimo s cuando $ x=-b/2a $ 
si a menor q 0 tons no ai minimo, i el maximo s logra cunado $ x=-b/2a $ 


si n ves d funcion fuera ecuacion d aki c puede sacar la formula general

$ a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a=0 $
$ a(x+b/2a)^2=b^2/4a-c $
$ (x+b/2a)^2=(b^2/4a-c)/a=[(b^2-4ac)/4a]/a $
$ (x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2 $
$ x+b/2a=\pm \sqrt{(b^2-4ac)/4a^2} $
$ x=-b/2a\pm \sqrt{(b^2-4ac)}/2a $

i kreo k ia sta aaa juegn halo CE,2,3 i el wars

wiiiiiii owen ganoo in total drama islandd guuujuuuu kiero ser komo chris mclean ii i love raven hahah thats the perfect girll gueno pa mi heheh ia no es gwen :P