Los números reales positivos $x$, $y$, $z$ son tales que:
$$x+ \frac{y}{z} = y + \frac{z}{x} = z + \frac{x}{y} = 2$$
Determina todos los valores posibles de $x+y+z$.
Los números reales positivos $x$, $y$, $z$ son tales que:
$$x+ \frac{y}{z} = y + \frac{z}{x} = z + \frac{x}{y} = 2$$
Determina todos los valores posibles de $x+y+z$.
Un comentario primero, el
Un comentario primero, el problema original decía reales positivos. Esto es importante mencionarlo, porque mi solución es valida solamente para reales positivos (técnicas que utilizé debido a que el problema decía reales positivos).
Escribimos las ecuaciones como
$$xz+y=2z$$
$$xy+z=2x$$
$$zy+x=2y$$
Sumando las tres llegamos a la ecuacion 1:
$$xy+yz+zx=x+y+z$$
Luego por MA-MG
$$\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{yzx}{zxy}}=3$$
Sumando las tres originales tenemos
$$x+y+z+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}=6$$
Entonces por la desigualdad y la igualdad
$$3\geq x+y+z$$
Además por MA-MG
$$3\geq x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}$$
Por lo que tenemos
$$1\geq xyz$$
Ahora escribimos las ecuaciones como
$$\frac{x}{y}=2-z$$
$$\frac{y}{z}=2-x$$
$$\frac{z}{x}=2-y$$
Multiplicandolas obtenemos
$$1=(2-z)(2-x)(2-y)$$
Que es lo mismo que
$$1=8-4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-xyz$$
Y por la ecuación 1 y un reacomodo tenemos que
$$7-xyz=2(x+y+z)$$
Por $3\geq x+y+z$ y por $1\geq xyz$ tenemos que
$$7-xyz \geq 6 \geq 2(x+y+z)$$
Entonces la igualdad se logra si y solo si ambos son iguales a 6
$$7-xyz=6=2(x+y+z)$$
Por lo que
$$x+y+z=3$$
Y es facil encontrar al menos un caso de igualdad que cumple todo con $(x,y,z)=(1,1,1)$
Gracias Isaí, me parece muy
Gracias Isaí, me parece muy buena tu solución. Y muchas gracias por toda tu colaboración. Ya puse que los números eran reales positivos.
Saludos