P5 OMM 1991. Suma de cuadrados cuadrado

a)

Caso 1. m=6.

Trabajando en módulo $8$ se observa que la suma de los cuadrados de 6 números consecutivos es siempre congruente a $3$ ó $7$ (en módulo $8$).

Caso 2. m=3.

La suma de los cuadrados de tres consecutivos es congruente con $2$ en módulo $3$.

b) La suma $n^{2}+\ldots+(n+10)^{2}$ es igual a $11[(n+5)^{2}+10]$. Luego, para que la expresión sea un cuadrado perfecto, el segundo factor tiene que ser de la forma $11k^{2}$ para algún $k \in \mathbb{N}$. Después de un poco de exploración resulta fácil ver que al elegir $k=7$ se llega a que $(n+5)^{2}+10=(11)(7^{2})$ y por tanto $n=18.$ Así, los cuadrados de los $11$ números del conjunto $\{18, 19, \ldots, 28\}$ hacen lo pedido.

Yo tengo varias preguntas en nombre de la comunidad de usuarios MaTeTaM (no necesariamente para Coquitao, sino para los ex-olímpicos y aficionados al problem solving de olimpíada).

Bueno, en primer lugar agradezco a Coquitao su colaboración motivo de este comentario, y las anteriores; todas excelentes e ilustrativas del razonamiento experto en problemas de olimpiada... las gracias le sean dadas...

Empiezo diciendo que es un hecho de la comunicación humana que en el discurso (de cualquier tipo) siempre habrá cosas que no se dicen sino que se da por supuesto que el destinatario las conoce y las traerá a presencia en la interacción comunicativa --como una forma de cooperación comunicativa con el interlocutor. En este sentido, ninguna comunicación es transparente pues la comprensión del discurso es un acto de colaboración de cogniciones.

Y ello no sólo en matemáticas sino en cualquier comunicación. Tomemos como ejemplo el verso de una canción de Cranberries:

With a Smith & Wesson 38,
John Lennon's life was no longer a debate.

¿Qué tenemos aquí? Bueno, en primer lugar es claro que quedan excluidos de la comprensión los interlocutores que no conocen el idioma inglés (un 60% de los mexicanos, digamos).

Después (dentro de los que le entienden al inglés) se excluyen también quienes no tienen el contexto de la la vida de John Lennon; pero también quienes no saben qué es "a Smith & Wesson 38". Y quizá después seguirían quienes no se pueden imaginar cómo encaja el sustantivo "debate" en el verso (aún cuando conozcan la vida de John Lennon, pues el uso de la palabra es metafórica).

Pasemos ahora con las preguntas del problema. Quien tiene el contexto de problemas de este tipo sabe que una pregunta del tipo "no se puede" sugiere (para él, gracias a su experiencia en el problem solving, pero no es sugerencia universal) el uso de una "criba" que opere sobre las condiciones necesarias. Y, para este caso, las cribas conocidas se basan en un análisis residual con un módulo adecuado.

Esto se ilustra claramente para el caso 2 (módulo 3). Pero pues hay que saber que, como todo entero es congruente con -1,0 o 1 (módulo 3), entonces su cuadrado es congruente con 0,1(módulo 3). De aquí que no se pueda formar un cero ni un uno con tres cuadrados consecutivos. (Pues los posibles sumandos son 0+1+1 en algún orden.) Esto es elemental ¡pero no para el novicio!

(Aprender congruencias lo puede hacer el novicio en un mes, pero sentirse a gusto con ellas puede requerir años... y ello es cierto para quienes han hecho todas sus tareas en la escuela... y en los entrenamientos... pero --hay que decirlo aunque sea políticamente incorrecto-- !hay quienes no siquiera saben bien el álgebra escolar!)

Por otro lado hay que recordar que el problema es del concurso nacional y ello significa que están excluidos de su comprensión --y su consecuente resolución-- el 98% de los adolescentes --ni bueno ni malo, es solamente un hecho de la vida.

Y debería ser claro para todos que aquí la creatividad es definitivamente una cualidad inútil. Lo que se necesita es experiencia en problemas de este tipo (el significado está en el uso). Porque la creatividad es más útil cuando se tienen las herramientas adecuadas...

Ahora bien, conociendo el telón de fondo de la estrategia general de demostración de una proposición "no se puede", es decir, después de hacer pasado varios filtros comunicativos, la pregunta que tengo es sobre el uso del módulo 8:

¿Cómo sabes que el módulo adecuado para el análisis residual es 8? ¿Hay alguna regla o principio que te lo diga o sugiera?

Los saluda

- El principio básico es intentarlo para módulos pequeños y ver si las elecciones respectivas funcionan o no. Yo sabía que el módulo 8 era el bueno porque había hecho un problema análogo antes.

- Para ser sinceros, no entendí lo del sustantivo debate en el verso. ¿Por qué decían los Cranberries que "la vida de Lennon no sería más un tema de debate"?

- Creo que nuestra solución para la parte b es más baja que la oficial, ¿verdad? De acuerdo a un folleto que acabo de consultar, en aquél entonces se propusó como solución a la 11-ava (38, ..., 48). ¿Pueden creerlo?

Saludos

Gracias por la respuesta Coquitao. Me imaginaba que la regla sería algo así. Ello aclara el misterio "del conejo sacado de la manga" del módulo 8...

Respecto a la cuestión del "debate"... tienes razón en pensar que la muerte de alguien cuya vida fue objeto de controversia no aniquila ésta... aunque sí la condena a ser solamente de interés histórico... es decir, a ser olvidada por los mass media (que están muy ocupados con las travesuras de Lady Gaga u otra de las celebridades del momento).

Te saluda

PD: ahorita estoy tratando de poner todos los concursos nacionales de manera sistemática, así que no he consultado las soluciones, estoy concentrado en los enunciados --la iniciativa es de Jesús y me pareció muy buena idea...

Yo soy lo que ustedes llaman "novicio" pero en desarrollo, porque estoy entrenándome para dejar de serlo. Por más que intenté, no puedo comprender lo de los módulos, es decir comprendo el caso 2, pero intentando otro problema, cuando analizé la suma de 8 cuadrados consecutivos en módulo 8, llego a que la suma da 4, y 4 forma parte de los residuos de cuadrados en módulo 8, entonces hasta aquí la suma de 8 cuadrados da otro cuadrado perfecto, pero a la vez no lo encuentro y por medio de otros cálculos llego a que no es el resultado otro cuadrado perfecto. Alguien puede solucionarme este problema?

Ah también me gustaría me expliquen como sé que módulo usar, es decir coquitao uso módulo 8 para analizar el caso 1, pero por qué no el 6 o el 7? Tal vez esto responda mi primera duda también.

Gracias.

 Ahhhh muchas gracias, eso explica por qué  la suma de ocho cuadrados consecutivos en módulo 9 da un residuo en que no termina un cuadrado. O sea que la suma de dos cuadrados consecutivos que da otro cuadrado (Ej= $3^2+4^2=5^2$, al analizarlo en cualquier módulo da residuo de un cuadrado perfecto?

Respecto a lo que me preguntaste, ahora que me fijé encontré un error, así que la demostración está mal.

Una pregunta que no tiene que ver con el tema:

Visito esta página a menudo, porque tiene un montón de teoría que me re sirve, pero lo que quiero saber es si: ¿ puedo publicar un problema que a mí no me sale, y alguien pone la solución?