3. Suma de cuadrados en un torneo de liga

Enviado por Samuel Elias el 18 de Octubre de 2026 - 09:55.

En un torneo tipo $\textit{liga}$, hay $n$ jugadores que pueden únicamente ganar o perder (no hay empates). Sea $w_i$ el número de partidas que ganó el jugador $i$ y sea $l_i$ el número de partidas que perdió, para toda $1\le i \le n$. Demuestra que: $$w_1^2+w_2^2+ \dots + w_n^2 = l_1^2+l_2^2 + \dots + l_n^2$$

Nota: un torneo de liga es un torneo donde todos los jugadores juegan contra todos los demás exactamente una vez. Por ejemplo, la fase de grupos del mundial es un torneo de liga.

Sugerencia

Sugerencia:

Pasa todo al mismo lado de la igualdad. Factoriza, utiliza propiedades de los torneos y concluye.

Solución

Solución:

Note que la condición que nos piden demostrar es equivalente a demostrar $$\sum_{i=1}^n[(w_i+l_i)(w_i-l_i)]=0$$

Cada jugador juega $n-1$ veces, por lo que $w_i+l_i=n-1$. Entonces, tenemos que demostrar: $$(n-1)\sum_{i=1}^n(w_i-l_i)=0 \iff \sum_{i=1}^n w_i = \sum_{i=1}^n l_i$$

Note que cada victoria genera una derrota, lo cual demuestra lo que pide el problema.