De todas las fracciones $\frac{x}{y}$ que cumplen $$\frac{41}{2010}<\frac{x}{y}<\frac{1}{49}$$ encuentra la que tenga menor denominador.
De todas las fracciones $\frac{x}{y}$ que cumplen $$\frac{41}{2010}<\frac{x}{y}<\frac{1}{49}$$ encuentra la que tenga menor denominador.
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Me gustó resolverlo. Mi
Me gustó resolverlo. Mi solución se resumen en la siguiente observación general:
En esta afirmación hay que suponer todas las fracciones reducidas, que significa que $(a,b)=(c,d)=1$ y que $b,d>0$.
La prueba es bastante simple, como $\frac{a}{b} < \frac{x}{y}$, entonces $bx-ay >0$ y como $\frac{x}{y} < \frac{c}{d}$ entonces $cy-dx>0$. En resumen:
Ahora bien, mutipliando cada desigualdad en (\ref{uno}) por $d$ y $b$ (respectivamente) y sumándolas obtenemos:
$$d+b \leq d(bx-ay) + b(cy-dx) = dbx -day + bcy -bdx = (bc-ad)y = y$$
Lo que significa que $y \geq b+d$, el cuál se alcanza cuando $bx-ay = cy-dx =1$.
No es muy dificil de probar que $y=b+d$ y $x=a+c$ satisfacen las condiciones, por lo que, la desigualdad se alcanza.
Más aún, usando un argumento similar, podemos probar que $x \geq a+c$, por lo que, $a+c$ es el mínimo de los numeradores. Bueno, esto sólo cuando $a$ y $c$ son ambos positivos.
Espero que les haya gustado mi solución.
Bueno yo lo hice de la
Bueno yo lo hice de la siguiente manera; tenemos que:
x/y<1/49 => 49x<y, pero como se quieren la de menor denominador (es decir, la menor y que cumple), tenemos que el menor valor de y que cumple es y=49x+1 (porque el problema decia que x, y eran numeros naturales).
En la 2° parte de la desigualdad que era: 41/2010<x/y => 41y<2010x, pero como tenemos el valor que debe de tener y, solo sustituyo, y tengo que: 41(49x+1)=2009x+41<2010x => 41<x, pero como y esta en funcion de x, si x incrementa = lo hace y, por lo que si queremos el menor valor de y, debemos de tener el menor valor de x, y como x es numero natural, el menor valor que cumple es x=42, por lo que y=49(42)+1=2058+1=2059. Por lo que x/y= 42/2059, y esta es la fraccion que posee el menor denominador.
SALUDOS:
Luis German Diaz Zuñiga CBTis 105, Altamira, Tamps
pd.Si tengo algun error agradeceria de mucho que me dijeran cual.
Bueno yo lo hice de la
Bueno yo lo hice de la siguiente manera; tenemos que:
x/y<1/49 => 49x<y, pero como se quieren la de menor numerador (es decir, la menor y que cumple), tenemos que el menor valor de y que cumple es y=49x+1 (porque el problema decia que x, y eran numeros naturales).
En la 2° parte de la desigualdad que era: 41/2010<x/y => 41y<2010x, pero como tenemos el valor que debe de tener y, solo sustituyo, y tengo que: 41(49x+1)=2009x+41<2010x => 41<x, pero como y esta en funcion de x, si x incrementa = lo hace y, por lo que si queremos el menor valor de y, debemos de tener el menor valor de x, y como x es numero natural, el menor valor que cumple es x=42, por lo que y=49(42)+1=2058+1=2059. Por lo que x/y= 42/2059, y esta es la fraccion que posee el menor denominador.
Si tengo algun error agradeceria de mucho que me dijeran cual.
Bueno, yo veo muy bien tu
Bueno, yo veo muy bien tu solución. Pero, como pediste buscar errores, le metí lupa y encontré sólo dos cosas.
1. Si observas la primera parte de tu argumento, no estás usando para nada la segunda desigualdad $41/2010 < x/y$. Esto no está bien, pues eso se interpreta como que no importa cuál se la otra condición, siempre se da que $y = 49x+1$,ya que se está buscando el mínimo. Sin emabargo, si cambiáramos la segunda desigualdad por, por ejemplo $y > 2010$, entonces se tendría que el mínimo se alcanza en $y=2011$ y $x=41$, pero estos valores no satisfacen $y =49x+1$.
2. Hubiera sido bueno que metieras la verificación de que $x/y = 42/2059$ satisface las desigualdades originales, no más para amarrar más la cosa. Pues en general, no siempre es muy claro que al transformar unas desigualadades a otras uno pueda regresar el proceso.
Por ejemplo:
$$\sqrt{x+1}<2 \Rightarrow x + 1 < 4 \Rightarrow x < 3$$
En este ejemplo, pareciera que tomar cualquier $x$ menor a 3 funciona. Pero $x =-2$, no funciona pues da raíz negativa.
Bueno, en general, yo como quiera te pondría todos los puntos, a menos que hubiera un acuerdo en equipo de revisión en penalizar alguna de estas cosas. No siempre se penalizan, pero a veces sí.
Saludos
Muchas gracias por las
Muchas gracias por las observaciones :), en el examen si puse la comprobacion de que 41/2010<42/2059<1/49, para asegurarme que si cumpliera, solo que como ayer estaba en un ciber, pues intente ser lo mas breve posible, para no tardarme mucho.
De nuevo muchas gracias y saludos.
Luis German