Fracción con mínimo denominador

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 De todas las fracciones $\frac{x}{y}$ que cumplen $$\frac{41}{2010}<\frac{x}{y}<\frac{1}{49}$$ encuentra la que tenga menor denominador.




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Me gustó resolverlo.  Mi

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Me gustó resolverlo.  Mi solución se resumen en la siguiente observación general:

El número $y$ más pequeño que satisface $$\frac{a}{b} < \frac{x}{y} < \frac{c}{d},$$ con $cb -ad=1$ es $y=b+d$.

En esta afirmación hay que suponer todas las fracciones reducidas, que significa que $(a,b)=(c,d)=1$ y que $b,d>0$.

La prueba es bastante simple, como $\frac{a}{b} < \frac{x}{y}$, entonces $bx-ay >0$ y como $\frac{x}{y} < \frac{c}{d}$ entonces $cy-dx>0$. En resumen:

bx-ay &\geq1 \\ cy-dx & \geq 1

Ahora bien, mutipliando cada desigualdad en (\ref{uno}) por $d$ y $b$ (respectivamente) y sumándolas obtenemos:

$$d+b \leq d(bx-ay) + b(cy-dx) = dbx -day + bcy -bdx = (bc-ad)y =  y$$

Lo que significa que $y \geq b+d$, el cuál se alcanza cuando $bx-ay = cy-dx =1$.

No es muy dificil de probar que $y=b+d$ y $x=a+c$ satisfacen las condiciones, por lo que, la desigualdad se alcanza.

Más aún, usando un argumento similar, podemos probar que $x \geq a+c$, por lo que, $a+c$ es el mínimo de los numeradores. Bueno, esto sólo cuando $a$ y $c$ son ambos positivos.

Espero que les haya gustado mi solución.

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Bueno yo lo hice de la

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Bueno yo lo hice de la siguiente manera; tenemos que:

x/y<1/49 => 49x<y, pero como se quieren la de menor denominador (es decir, la menor y que cumple), tenemos que el menor valor de y que cumple es y=49x+1 (porque el problema decia que x, y eran numeros naturales).

En la 2° parte de la desigualdad que era: 41/2010<x/y => 41y<2010x, pero como tenemos el valor que debe de tener y, solo sustituyo, y tengo que:          41(49x+1)=2009x+41<2010x => 41<x, pero como y esta en funcion de x, si x incrementa = lo hace y, por lo que si queremos el menor valor de y, debemos de tener el menor valor de x, y como x es numero natural, el menor valor que cumple es x=42, por lo que y=49(42)+1=2058+1=2059. Por lo que x/y= 42/2059, y esta es la fraccion que posee el menor denominador.

SALUDOS:

Luis German Diaz Zuñiga CBTis 105, Altamira, Tamps

pd.Si tengo algun error agradeceria de mucho que me dijeran cual.

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Bueno yo lo hice de la

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Bueno yo lo hice de la siguiente manera; tenemos que:

x/y<1/49 => 49x<y, pero como se quieren la de menor numerador (es decir, la menor y que cumple), tenemos que el menor valor de y que cumple es y=49x+1 (porque el problema decia que x, y eran numeros naturales).

En la 2° parte de la desigualdad que era: 41/2010<x/y => 41y<2010x, pero como tenemos el valor que debe de tener y, solo sustituyo, y tengo que:          41(49x+1)=2009x+41<2010x => 41<x, pero como y esta en funcion de x, si x incrementa = lo hace y, por lo que si queremos el menor valor de y, debemos de tener el menor valor de x, y como x es numero natural, el menor valor que cumple es x=42, por lo que y=49(42)+1=2058+1=2059. Por lo que x/y= 42/2059, y esta es la fraccion que posee el menor denominador.

Si tengo algun error agradeceria de mucho que me dijeran cual.

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Bueno, yo veo muy bien tu

Bueno, yo veo muy bien tu solución. Pero, como pediste buscar errores, le metí lupa y encontré sólo dos cosas.

1. Si observas la primera parte de tu argumento, no estás usando para nada la segunda desigualdad $41/2010 < x/y$. Esto no está bien, pues eso se interpreta como que no importa cuál se la otra condición, siempre se da que $y = 49x+1$,ya que se está buscando el mínimo. Sin emabargo, si cambiáramos la segunda desigualdad por, por ejemplo $y > 2010$, entonces se tendría que el mínimo se alcanza en $y=2011$ y $x=41$, pero estos valores no satisfacen $y =49x+1$.

2. Hubiera sido bueno que metieras la verificación de que $x/y = 42/2059$ satisface las desigualdades originales, no más para amarrar más la cosa. Pues en general, no siempre es muy claro que al transformar unas desigualadades a otras uno pueda regresar el proceso.

Por ejemplo:

$$\sqrt{x+1}<2 \Rightarrow x + 1 < 4 \Rightarrow x < 3$$

En este ejemplo, pareciera que tomar cualquier $x$ menor a 3 funciona. Pero $x =-2$, no funciona pues da raíz negativa.

Bueno, en general, yo como quiera te pondría todos los puntos, a menos que hubiera un acuerdo en equipo de revisión en penalizar alguna de estas cosas. No siempre se penalizan, pero a veces sí.

Saludos

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Muchas gracias por las

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Muchas gracias por las observaciones :), en el examen si puse la comprobacion de que 41/2010<42/2059<1/49, para asegurarme que si cumpliera, solo que como ayer estaba en un ciber, pues intente ser lo mas breve posible, para no tardarme mucho.

De nuevo muchas gracias y saludos.

Luis German