P1. El regreso del piso, el ascenso del techo

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2025 - 12:41.

Encuentra todos los números enteros positivos $x$ para el cual existe un número real $R$ tal que:

$$ 4\lfloor R\rfloor^2 + 4\lceil{R}\rceil +1 = x^2$$

Sugerencia

Sugerencia:

Analiza los casos cuando $R$ es entero y $R$ no entero.

Solución

Solución:

Si $R$ no es entero, entonces $\lfloor R \rfloor +1 = r+1 = \lceil R \rceil$. Entonces, $$4r^2+4(r+1)=x^2-1$$

Esto quiere decir que $x^2 \equiv 1 \pmod 4$, lo cual hace que $x$ tenga que ser impar.

Ahora, si $R$ es entero, entonces $\lfloor R \rfloor = \lceil R \rceil=r$, por lo que: $$4r^2+4r+1=(2r+1)^2=x^2$$

Entonces todos los valores impares de $x$ son solución.