P2. Recibe el doble presionando un botón.

Enviado por Samuel Elias el 12 de Junio de 2025 - 23:12.

Samuel tiene un cajero mágico que funciona de la siguiente manera: él ingresa una cantidad $x$ de dinero, siendo $x$ un entero positivo, y presiona un botón que le da el doble de la cantidad de dinero que hay (mas lo que ya tenía). Por ejemplo, si Samuel inserta 1 peso y presiona el botón, la máquina le dará 2 pesos, por lo que ahora tiene 3 pesos. Si presiona el botón una segunda vez, la máquina le devolverá 6 pesos. Y así sucesivamente. Si Samuel presiona el botón $n$ veces, cuánto dinero, en términos de $x$, tendrá en total?

Sugerencia

Sugerencia:

Tienes 3 opciones:

a) Usar inducción

b) Darte cuenta que esto es una progresión geométrica

c) Si te gustan las finanzas, tienes una anualidad creciente del 200%.

Solución

Solución:

Por inducción, vamos a demostrar que la respuesta es $3^n \cdot x$:

Si $n=1$, entonces si presiono el botón una vez, me va a devolver el doble de lo que ya tengo, es decir, había $x$ pesos. Presiono el botón y me devuelve $2x$ pesos. Entonces en total tengo $3^1 \cdot x$ pesos.
Mi hipótesis de inducción es que para $n=k$ se cumple que después de presionar el botón $k$ veces voy a tener $3^k \cdot x$ pesos.
Si $n=k+1$, como ya tenía $3^k \cdot x$ pesos acumulados, entonces el cajero me devuelve $2\cdot 3^k \cdot x$ pesos, por lo que ahora hay:

$$3^k \cdot x + 2 \cdot 3^k \cdot x = 3^k \cdot x (1+2) = 3^{k+1} \cdot x$$

$\therefore$ La respuesta es $3^n \cdot x$