P6. OMM 1987. Divisibilidad clásico de la OMM

La ecuación es múltiplo de 3804 sólo si lo es de 3,4 y 317, ya que éstos son los factores de 3804.

Demostración de que es múltiplo de 3

Como $n^3-n=(n-1)(n)(n+1)$ es un producto de tres número consecutivos, entonces es multiplo de 3.

Demostración de que es múltiplo de 4

Notemos que  $n^3-n$ es par. Luego,  tanto 5 como 3 a cualquier potencia simpre son impares, entonces, $(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es impar pues impar+impar=par. 

Luego, como $\textrm{par} \times \textrm{par} = 2a \times 2b = 4ab $ es multiplo de 4. Entonces, $(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es múltiplo de cuatro.

Demostración de que es múltiplo de 317.

Al ver el problema con congruencias queda $$5^{8n+4}+3^{4n+2} \equiv 0 \pmod{317},$$ o bien, $$5^{8n+4} \equiv -3^{4n+2} \pmod{317}.$$

Pero se tiene que: $$5^4 = 625 \equiv -9 = -(3^2) \pmod{317}.$$ Por lo que $$(5^4)^{2n+1} \equiv -(3^2)^{2n+1} \pmod{317}.$$ Por lo que $$5^{8n+4} \equiv -3^{4n+2} \pmod{317},$$ y $$5^{8n+4} +3^{4n+2} \equiv 0 \pmod{317}.$$ Entonces $(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2}) \equiv 0 \pmod{3804}$