Problema 6, IMO 2010

Enviado por jesus el 21 de Julio de 2010 - 10:28.

Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una sucesión de números reales positivos. Se tiene que para algún entero positivo $s$,
$$a_n = \textrm{max}\{a_k + a_{n-k} \textrm{ tal que } 1 \leq k \leq n - 1\}$$
para todo $n > s$. Demuestre que existen enteros positivos $\ell$ y $N$, con $\ell \leq s$, tales que $a_n = a_\ell + a_{n-\ell}$ para todo $n \geq N$.

Sugerencia

Por:

jesus

Sugerencia:

Demuestra que para todo $n > s$, $$a_n = \textrm{max} \{a_{n-k}+a_k \textrm{ tal que } 1 \leq k \leq s\}$$
Después demuestra que si $a_n = a_{n-k} +a_k$ para algún $k$ entre $1$ y $s$, entonces $a_n = a_{n-qk} + qa_k$ para todo $q$ tal que $n-aq > 0$.
Demuestra que $a_{n-k} +a_k = a_{n-qk} + qa_k$ para toda $n$, $k$ y $q$ tales que $1 \leq k \leq s \quad $ y $ \quad n-qk >0$.
Sea $max$ al número entre $1$ y $s$ tal que $$\frac{a_{max}}{max} \geq \frac{a_t}{t} \quad \textrm{para toda } 1\leq t \leq s $$
Demuetra que $a_{n-max}+a_{max} \geq a_{n-k}+ a_k$ donde $k$ es tal que $a_{n} =a_{n-k}+ a_k$. Usa (2) y (3)
Concluye

Álgebra [1]
Experto [2]
IMO 2010 [3]