P1. Aparición épica de Deker en la OMM Tamaulipas

Enviado por Samuel Elias el 3 de Octubre de 2025 - 17:41.

Sea $n$ un entero positivo y sea $s(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ es $deker$ si $2s(n)=s(2n)$. Demuestra que existen más de 2025 números $deker$ de 5 dígitos.

Sugerencia

Sugerencia:

Demuestra que basta que los dígitos sean menores o iguales a 4 y después haz conteo.

Solución

Solución:

Vamos a demostrar que si $n=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ y $a_i \leq 4 \ \forall \ 1 \leq i \leq 5$ entonces $n$ es deker.

Note que si $2n = \overline{b_1b_2\dots b_5}$ y $a_i \leq 4$, entonces $b_i = 2a_i$ porque los dígitos no llevaran carreo. Entonces $$s(2n)=\sum_{k=1}^{5} b_i = \sum_{k=1}^{5} 2a_i = 2\sum_{k=1}^{5}a_i=2s(n)$$

Esto quiere decir que hay $4 \times 5^4$ números $deker$ de esta forma, que claramente es mayor a 2025.

Combinatoria [1]
Números [2]
Básico [3]
Segundo Corte Semifinales OMM Tamaulipas [4]