P4. Las hormigas troll de Lalo

A Lalo le regalaron una red mágica, como la que se muestra en la figura. La red consta de 20 vértices unidos por algunas aristas. Lalo coloca, de una en una, hormigas en los vértices de la red. Las hormigas caminan sobre las aristas, y al hacerlo, la arista recorrida va desapareciendo. Lalo tiene $n$ hormigas y juega colocándolas de la siguiente manera:

1. Coloca la hormiga sobre un vértice y ésta camina libremente hasta que Lalo decide retirarla al llegar a algún vértice. Después, coloca la siguiente hormiga.
2. Cada hormiga recorre al menos una arista.
3. No hay tres hormigas que recorran la misma cantidad de aristas de la red mágica.

Lalo usó cada una de sus hormigas exactamente una vez, y al terminar, la red mágica había desaparecido completamente. ¿Cuál es el mayor número de aristas que pudo haber recorrido una hormiga de lalo?

Quien decidio regarle una red

Enviado por sebas islas el 28 de Noviembre de 2025 - 13:56.

Quien decidio regarle una red magica a Lalo :((((((((((

»

Primero, en la figura hay 30

Enviado por sebas islas el 30 de Noviembre de 2025 - 12:59.

Primero, en la figura hay 30 aristas

Segundo, cada vertice hasta unido con 3 aristas

 

Esto es mi solucion del nacional pero mejor, porq en el nacional me quitaron 2 puntos

1.- Se puede notar que las hormigas pasan pasan ALMENOS (aqui me quitaron 1 punto por poner exactamente) 2 veces por un vertice

Sea $h_i$ las aristas q recorre la hormiga $i$, entonces como tienen q pasar por toda las aristas se obtiene $h_1 + h_2 + \cdots + h_n = 30$ tomamos el valor minimo para las veces que puede pasar las hormigas por los vertices (osea 2) y como hay 20 vertices, se tiene que se ocupa pasar por los vertices almenos 40 veces, luego se puede dar cuenta que al pasar por $x$ aristas se pasa por $x+1$ vertices por lo que no da esta equacion $h_1 +1 +h_2+1 + \cdots + h_n=1 = 40 \Rightarrow n=10$ al restar ambas equaciones obtenidas y como usamos el valor minimo de los vertices $n \geq 10$

 

Ahora usando la condicion q 3 hormigas no puedes recorrer la misma cantidad de arista esto implica que la el acomodo maximo que se puede usar con esta condicion es que 2 hormigas pasen por 1, 2 hormigas pasen por 2, y asi hasta 2 hormigas pasen por 5 y la suma de esto te da justo 30 por lo q n=10 y la maxima cantidad de arista para una hormiga es 5 y ahi les va el acomodo

La linea verde son las hormigas de aristas 5, las rosas son los de aristas 4,azules de 3, amarillo los de 2 y naranja los de 1 (sigan las flechas tmb ayuda

»