Regiones 2009, problema 1

Los múltiplos de 3 son $0,3,6$. Si alguno de ellos estuviese en el centro, obligatoriamente los otros dos estarían en una casilla adyacente. Por tanto, en el centro no puede haber un múltiplo de 3. Nos quedan 4 que podemos colocar en el centro (4 formas de colocar uno de los números en el centro).

Si numeramos las casillas no en el centro con los números $1,2,3,4,5,6$ en el sentido del reloj, los múltiplos de 3  los podemos colocar en las casillas $1,3,5$ o bien en las etiquetadas $2,4,6$. Y, en cada uno de esos casos, hay $3!$ formas de colocarlos ($2\cdot{6}$ formas de colocar los múltiplos de 3).

Finalmente, para cada ubicación de los múltiplos de 3, los 3 números restantes se pueden colocar en las casillas vacías de $3!$ formas.

En resumen, hay $4\cdot{2}\cdot{6}\cdot{6}=288$ formas de colocar los 6 números como se pide.