Caracterización del ortocentro

 Demostración:

$" \Longrightarrow "$ 

Sea $P$ el ortocentro del triángulo $XYZ$. Tenemos entonces que $XP$ es perpendicular a $YZ$. Sean $E$ y $D$ los pies de las alturas desde $Z$ y $X$, respectivamente. Entonces como $\angle{XEZ}=\angle{ZDX}=90$ tenemos que $XEDZ$ es cíclico, de ahí que $\angle{EXD}=\angle{DZE}=\alpha$. Sea $Q$ el reflejo de $P$ sobre $YZ$. Como $PD=DQ$ y $PD \perp YZ$, el triángulo $PQZ$ es isósceles con $PZ=QZ$, así, $\angle{PZD}=\angle{DZQ}=\alpha$. Por lo tanto, como $\angle{YZQ}=\angle{YZQ}=\alpha$ decimos que el cuadrilátero $YXZQ$ es cíclico, es decir, que $Q$ se encuentra en el circuncírculo de $XYZ$.

$" \Longleftarrow "$

Sea $Q$ un punto sobre el arco $YZ$ del circuncírculo del triángulo $XYZ$ tal que $XQ \perp YZ$. Sean $D$ la intersección de $XQ$ con $YZ$, $P$ el reflejo de $Q$ sobre $YZ$ y $E$ la intersección de $YP$ con $XZ$. Como $P$ es el reflejo de $Q$, tenemos que $XP \perp YZ$ y que $PD=DQ$. Con esto obtenemos que $PYQ$ es isósceles y por tanto, $\angle{PYD}=\angle{DYQ}=\beta$. Como $\angle{ZYQ}$ abre el mismo arco que $\angle{ZXQ}$ deducimos que $\angle{ZXQ}=\beta$. Sea $\alpha=\angle{XQY}$, entonces $\angle{DPY}=\alpha=\angle{XPE}$ por ser ángulos opuestos por el vértice. Así obtenemos finalmente que $\angle{XDY}=\angle{YEX}=90$ lo que implica que $YE$ y $XD$ son alturas, y por tanto, $P$ es el ortocentro del triángulo $XYZ$. ▄

Un saludo.