Sea $P=\{P_1, P_2, \dots, P_{1997}\}$ un conjunto de 1997 puntos en el interior de un círculo de radio 1, siendo $P_1$ el centro del círculo. Para cada $k=1, \dots, 1997$ sea $x_k$ la distancia de $P_k$ al punto de $ P$ más próximo a $P_k$ y distinto de $P_k$. Demostrar que:
$$x_1^2 + x_2^2 + \cdots +x_{1997}^2 \leq 9$$
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/print/problemas/geometria/problema-6-xii-olimpiada-iberoamericana#comment-1120
[2] https://www.matetam.com/problemas/combinatoria
[3] https://www.matetam.com/problemas/geometria
[4] https://www.matetam.com/categoria/nivel/avanzado
[5] https://www.matetam.com/problemas/categoria/olimpiada-iberoamericana-matematicas/xii-oim-1997
Este problema me parecio
Este problema me parecio bastante bueno, esta vez estoi algo dudoso de que este del todo bien pero ahi te va Jesus:
Sea $C=(P_1, 1)$, $C_1=(P_1, \frac{3}{2})$ donde $Z=(X, Y)$ denota la circunferencia $Z$ de cnetro $X$ y radio $Y$. Elijamos un punto arbitrario $P_i$ y consideremos la circunferencia $C_i=(P_i, \frac{x_i}{2})$, sea $x_j$ la distancia maxima a obtener es claro que esta distancia es menor que 1 ya que no se pueden contar los puntos sobre la circunferencia $C$ y por consiguiente $P_1$ esta a una distancia menor que 1 de cualquier punto. De ahi se tiene que cualquier circunferencia $C_i$ esta contenida en $C_1$ ya que incluso en el caso mas extremo en que un punto se encontrara en $C$ se tendria que a lo mucho su radio es 1 y aun asi se queda dentro de $C$.
Ademas es claro que ninguna circunferencia $C_i$ pasa por otra circunferencia, es decir no se traslapan, ya que su centro es $P_i$ y la circunferencia no pasa por su punto mas cercano(ya que el radio de la circunferencia es $\frac{x_i}{2}$ Esto de lo podemos aplicar a todos los puntos , de ahi la suma de las areas de todas las circunferencias formadas es menor o igual que el area de la circunferencia $C_1$ usando la formula del area del circulo tenemos quel
$C_k=\pi(\frac{x_k}{2})^2$ Sumando todas las areas de las circunferencias y tomando en cuanta que suman un area menor o igual que $C_1$ tenemos la siguiente desigualdad;
$\pi(\frac{x_1}{2})^2+\pi(\frac{x_2}{2})^2+...\pi(\frac{x_{1997}}{2})^2 \leq\pi(\frac{3}{2})^2$
que es equivalente a la desigualdad pedida(multiplicando ambos lados por $\frac{4}{\pi}$)
Brandon, tu dices que: es [1]
Brandon, tu dices que:
Creo que este argumento está incompleto. Efectivamente, la circunferecnia $ C_i $ no pasa por el punto más cercano a $ P_i $, pero eso no prueba que las circunferencias $C_i$ y $C_j$ no puedan traslaparse. De hecho, si tomáramos a $C_i$ de radio igual a $\frac{3}{4}x_i$ también se tendría que $C_i$ no pasa por el punto más cercano de $P_i$, sin embargo las circunferencias sí se traslaparían.
No sé si quieras corregir esta parte de tu argumentación o prefieras que yo lo redacte. Tu dime.
Bueno, por lo demás, todo está bien. Veo que está bien argumentado que las circunferencias están dentro del círculo de radio $3/2$ y que, una vez asumiendo que no se traslapan la circunferencias, el resto de la prueba es claro y directo.
Saludos
ahi te va Jesus a ver si esta
ahi te va Jesus a ver si esta algo mas claro, sean $C_a=(P_a,\frac{x_a}{2}), C_b=(P_b,\frac{x_b}{2})$ Dos circunferencias(se definen como lo habia hecho con $C_i$. Su pongamos que se traslapan, es decir que se sobreponen(tienen cierta area en comun). Hice una figura para aclarar esto que menciono:
Sin perdida de generalidad perdida de generalidad podemos suponer que $x_b \leq x_a$ en el caso que la igualdad se alcanse las circunferencias no comparten area.(sollo el punto en comun sobre la recta que une los centros), en caso de que la igualdad no se alcanse tendriamos que;
$P_a P_b \leq x_a$ es decir $P_a P_b$ seria una distancia menor que $x_a$ lo cual es una contradiccion... de ahi la supocicion de que compartian area es falsa..espero y ahora si este claro Jesus Saludos!!!
No sólo ahora está claro,
No sólo ahora está claro, ahora está correcto.
La parte de compartir área no se había mencionado la vez pasada. Tampoco el hecho de que $P_aP_b$ sea menor que el máximo de $x_a$ y $x_b$. Estas dos ideas son esenciales para una prueba completa. De hecho, sin mencionar estas dos ideas, seguramente no podrías sacar los siete puntos.
Muy bien brandon, ya tienes los siete puntos.
Aunque, hay algo estrictamente mal escrito en tu nueva argumentación:
En el caso de igualdad no tiene porqué pasar que las cirunferencias sean tangentes. Al menos, no lo estás argumentando. Si $x_a=x_b$ aun podríán ser dos circunferencias que comparten área. Pero la razón por la que no pueden compartir área, es la misma razón que das más adelante, por ello, es un argumento que puede ser ignorado, aunque esté incompleto, y con ello darte los siete puntos.
Te escribo esto para que no te confíes, argumentar bien es muy importante para asegurar los puntajes. Contigo, no veo mucho problema en el caso de problemas de geometría, entiendes muy bien la lógica con la que se maneja la geometría y los resultados que son válidos. Pero creo que tal vez tengas problemas con los temas de geometría combinatoria, estoy seguro que para ti ya estaba muy clara la solución original, pero hay que aceptar que no estaba completa. Veo que rápidamente pudiste corregir tu demostración, lo cuál es una buena señal de que rápidamente vas a dominar la geometría combinatoria.
Bueno, tengo otro problema qué ponerte pero no me he dado el tiempo par subirlo. Hoy en la noche lo publico.
Saludos y vas muy bien, no te detengas.
Si de hecho la idea de donde
Si de hecho la idea de donde habia escrito se traslapan en un principio era que me referia a compartir area. Por eso mejor puse una figura para apoyarme en ella. Y si, debido a que no habia aclarado eso desde un principio, la solucion era incompleta. Seguire trabajando mis demostraciones, tratando de hacerlas lo mas claras posibles sin importar lo que me lleve escribirlas, Muchas gracias Jesus, Saludos y esperare el nuevo problema mientras tanto vere algunos yo.
Jesus mejor dejame intentar
Jesus mejor dejame intentar redactarlo de manera que ese punto quede claro, ya que un ejercicio de redaccion no esta de mas!!, deja bueso la manera de redactarlo para ponerlo saludos!!!