Sea $p_1 , p_2 , p_3 \dots$ la sucesión de números primos ordenados de menor a mayor. Si $n \geq 2$, demuestra que $p_n + p_{n+1}$ se puede expresar como el producto de al menos tres enteros mayores que 1 (no necesariamente distintos).
Sea $p_1 , p_2 , p_3 \dots$ la sucesión de números primos ordenados de menor a mayor. Si $n \geq 2$, demuestra que $p_n + p_{n+1}$ se puede expresar como el producto de al menos tres enteros mayores que 1 (no necesariamente distintos).
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[1] https://www.matetam.com/print/problemas/numeros/expresado-como-producto-tres#comment-3007
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[3] https://www.matetam.com/problemas/numeros
[4] https://www.matetam.com/categoria/nivel/intermedio
Dado que $n\geq2$ entonces
Excelente, escribes muy bien
Excelente, escribes muy bien tus soluciones además de ser correctas.
Otro argumento, que no es más fácil ni más dificil pero es distinto, es que $ k = \frac{p_n + p_{n+1}}{2}$ es decir $k$ es el promedio de estos dos, y por lo tanto esta entre ellos, y tiene que ser compuesto, como bien tu decias.
Saludos
germán
Weldersay: ¿Cómo concluyes
Weldersay: ¿Cómo concluyes que $p_{n}+p_{n+1}<2k$ a partir de la suposición de que $p_{n+1}<k$ y del hecho de que $p_{n}<p_{n+1}$? Lo que de esto de deduce es que $p_{n}+p_{n+1}<p_{n+1}+k-1$, pero ya que $p_{n+1}<k$, se tiene que $p_{n+1} \neq k$, por lo que no se puede sustituir $p_{n+1} = k$ en la última desigualdad para llegar a $p_{n}+p_{n+1}<k+k$, es decir, $p_{n}+p_{n+1}<2k$.
Hola Alexander, Pues, al [1]
Hola Alexander,
Pues, al tener $p_n< p_{n+1} $ y al suponer que $p_{n+1} <k......(1)$ tenemos $p_n<p_{n+1} <k$ entonces $p_n <k......(2)$ entonces sumando $(1)+(2)$ se tiene $p_n+ p_{n+1}<2k $.
Saludos.
Cierto, Weldersay. Saludos. [2]
Cierto, Weldersay.
Saludos.