El fácil del Regiones 2009

Por la restricción de que $ab\cdot{cd}$ es múltiplo de 7, los candidatos para $ab$ son $14, 21, 28, 35$, tomando en cuenta también la restricción de que $abcd$ sea menor que 4000.  (Notemos que esas dos condiciones o restricciones se traducen, respectivamente, a "alguno de los números $ab$ o $cd$ es multiplo de 7" y a "el primer dígito debe ser $1,2,$ o $3$. )

Ahora aplicamos los criterios de divisibilidad del 4 y el 9 (los últimos dígitos tiene que formar un número múltiplo de 4 y la suma de los 4 dígitos debe ser múltiplo de 9, o sea 9 o 18). Para 14 al principio solamente cumple el 76 al final; para 21, el 60 y el 96; para el 28, ninguno; para 35, el 28 y el 64. Tenemos entonces ya una solución parcial: 1476, 2160, 2196, 3528 y 3564 (cinco números)

Para los dos dígitos finales, de nuevo por la restricción de múltiplos de 7, los candidatos para $cd$ son 28, 56, 84.

Para 28 al final, se tiene 1728; para 56, se tiene el 3456; para el 84, el 1584.

(Todo esto se hace enlistando y tachando --no está de más decirlo, para que el novicio no se quede con la idea de que esos números surgen de otra manera.)

Son entonces 8 soluciones: 1476, 2160, 2196, 3528, 3564, 1728, 3456, 1584.