Números en espiral

Bueno, pues ésta es la respuesta que le dí en el examen aunque sólo me dieron 3 puntos  :(

$a_1$=1 $a_2$=3 $a_3$=13 $a_4$=31 ....

observamos que las diferencias entre ellos son: 2, 10, 18....

y tambien vemos que las diferencias entre estos últimos son de 8

Bueno... me di cuenta de esto despues de hacer muchos casos (de hecho llegué hasta $a_{45}$) descubrí también que habia un ciclo en las terminaciones de los números de dicha sucesión: 1, 3, 3, 1, 7, y se volvían a repetir... entonces $a_{100}$ debía terminar en 7 (porque dividí 100/5 =20 y ese lugar le correspondía al 7)

después observé que los números que se sumaban (2, 10, 18 .......) estaban en progresión aritmética y se me ocurrió buscar esta "suma" hasta $a_{99}$ y lo que me resultara se lo sumaría a $a_1$ =1

...

aplicando la fórmula de la progresión aritmética: na+ $\frac{d(n-1)(n)}{2}$

donde: n=99,       a=2,         d= 8,        entonces...

99(2)+ $\frac{8(98)(99)}{2}$  =  39006

ahora le sumamos el $a_1$ = 1

1+39006 = 39007

por lo tanto: $a_{100}$ = 39007  (que termina en 7 como se vió antes)

Eso fue mas o menos lo que hice, pero pues algo me debió faltar :( nimodo... nos veremos el próximo año

Muchas felicidades a todos y echenle ganas en el nacional :)

Hola Rosario:

Me declaro parte responsable por ese puntaje. Yo estube en la revisión de ese problema. Y bueno, depués de una cansada discusión con el equipo de revisión de Coahuila y Nuevo León, llegamos al acuerdo de poner tres puntos a todo aquel que presentara una solución que sólo usara argumentos numéricos. Esto es, que sólo inspeccionara el comportamiento de los primeros números de la sucesión para predecir el valor del número pedido.

La razón por la que se tomó esta decisión Rosario, fue por que queríamos que los alumnos argumentaran (o demostraran) porqué el patrón que ellos observaban efectivamente era seguido por la espiral. Las soluciones que sólo usaban los primeros números de la sucesión carecían de este elemento, pues evidentemente no se está usan la espiral como argumento, si no más bien como una "caja negra" generadora de números a la que hay que adivinarle el patrón.

Esta penalización puede ser alta, y nos costó trabajo decidirnos. Pero todos estuvimos de accuerdo en que era más importante darle peso a quien argumentó su respuesta apropiadamente.

Sólo me resta decirte a ti Rosario y a todos los que no quedaron que no hay que desanimarse por estos concursos, ya ganaron algo: la experiencia de ver las matemáticas de otra manera. No dejen de resolver problemas y estudiar matemáticas sólo por eso. 

Y los que repiten el próximo año como Rosario y que no quedaron, aun tienen oportunidad de ganar si siguen estudiando. Están invitados a los entrenamientos y creo que no deberían dejar a un lado esa invitación.

Saludos

Bien, fijémonos en que cada vez que comenzamos una columna izquierda nueva, lo hacemos con un numero par al cuadrado, y que las a´s que buscamos se encuentran en el mismo renglon y en el mismo "cuadro terminado", esto es, las a´s son menores a un cuadrado par. Así, tenemos que al 3 le corresponde el 4, al 13 el 16, al 31 el 36, al 57 el 64...

Tratemos ahora de encontrar algún patrón para poder aplicar alguna fórmula por determinar. En efecto, llamemos b´s a TODOS los cuadritos que se encuentran en dicha diagonal, es decir, ...,43,21,7,1,3,13,31,57,... y denotemos por b0=1, b1=3, b2=7, b3=13, b4=21... es decir, todas las b´s con subindice impar, a excepcion de b0, corresponden a los términos que estamos buscando, así, tenemos b0, b1, b3, b5, b7, b9... y queremos encontrar aquella b a la que le corresponde el lugar numero 100. Para esto, notemos que todos los subindices son impares, dicho de otra manera, son de la forma 2k-1. Ahora veamos:

a1=b0; a2=b1; a3=b3; a4=b5; a5=b7...

aquí notamos que el subíndice de cada b depende directamente del subíndice que tiene su respectiva a. Así es, para a subindice m>1, le corresponde una b subíndice 2(m-1) -1, es decir, una b subíndice 2m-3.

Si queremos encontrar una a con subíndice =100, solo basta igualar m=100 y obtener el subíndice de su respectiva b. Así, tenemos b subíndice 2(100)-3=197.

La b que buscamos es b197.

Ahora bien, desde un principio dijimos que había una relación directa encuanto a los cuadrados de los numeros pares con respecto a las a´s de nuestra lista. Veamos, como habiamos establecido, que tanto las a´s como los cuadrados de los pares se encuentran en ambas esquinas inferiores de sus "cuadrados" (graficos, no numericos -el dibujo, pues-) es decir, si al par al cuadrado le restamos la magnitud del cuadrado gráfico menos 1 nos dará su respectiva a. Traduciéndolo a lenguaje numerico, tenemos que si buscamos una Aj, entonces le corresponde una B2j-3 cuyo valor seria [(2j-3)+1]² - [2j-3]. Para términos prácticos, llamemos a 2j-3=S. Así, el valor de B2j-3 es igual a (S+1)² - S.

Así, si buscamos una B197, en este caso S=197, por lo que B197= (198)² - 197

Así, A100=198²-197 = 39,007.

El procedimiento es un poco mas abstracto que el de Rosario, pero ya está demostrado no solo por el empirismo o "vista"

Saludos.