¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! ? (20! = 1×2×3×· · ·×19×20).
¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! ? (20! = 1×2×3×· · ·×19×20).
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/glosario/definicion/numero-divisores
[2] https://www.matetam.com/print/problemas/numeros/p2-omm-1987-divisores-20-factorial#comment-1845
[3] https://www.matetam.com/problemas/numeros
[4] https://www.matetam.com/categoria/nivel/intermedio
[5] https://www.matetam.com/problemas/categoria/olimpiada-mexicana-matematicas/i-omm-1987
20! = 1x2x3x4x5x.....20 ; De [2]
20! = 1x2x3x4x5x.....20 ;
De esa serie de multiplicaciones tenemos los siguientes factores primos, 2,3,5,7,11,13,17,19.
De la misma manera:
4= 2x2
6= 3x2
8= 2x2x2
9= 3x3
10= 2x5
12= 2x2x3
14= 2x7
15= 3x5
16= 2x2x2x2
18= 2x3x3
20=2x2x5
De modo que la factorización en primos es:
20! = 218 x 38 x 54 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19
Por lo tanto el número de divisores de 20! es 41040
Perfectamente bien
Perfectamente bien contestado.
Para los que no sabían:
Para calcular el número de divisores de un número $N$ primero se calcula su descomposición en primos, es decir, se escribe de la forma: $$N=p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ donde $p_1, p_2, \ldots, p_k$ son primos distintos. Luego, el número de divisores de $N$ será igual a: $$(\alpha_1+1)\cdot (\alpha_2+1) \cdots (\alpha_k+1)$$
Aplicación al caso de 20!
Entonces, en el caso de 20! los de la Escuela Preparatoria Mante calcularon la decomposición prima: 20! = 218 x 38 x 54 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19
Entonces, el número de divisores tiene que ser:
(18+1)x(8+1)x(4+1)x(2+1)x(1+1)x(1+1)x(1+1)x(1+1) = 19x9x5x3x2x2x2x2
= 41040